I. — Intégrales hyperellip tiques

1. Nous avons déjà étudié (t. I, p. 60) la réduction algébrique des intégrales hyperelliptiques. Considérons particulièrement les

intégrales du type

^f(x) dx

f(x) étant un polynôme ; soient p. le degré du polynôme R(#) et at) a2, . . . , «|i ses |a racines qui sont supposées toutes distinctes. Nous nous proposons d'étudier les déterminations diverses de l'intégrale

(I) Jro "vW

quand on va du point x0 au point x par différents chemins, la détermination initiale de y/R(^) pour# = o étant toujours la même.

2. Commençons par étudier les différents chemins allant du point x0 à un point x. Pour l'objet que nous avons en vue, deux chemins seront évidemment à considérer comme identiques si l'on peut les ramener l'un à l'autre par une déformation continue sans traverser aucun des points a. Or considérons (fig. 24 ) y- courbes partant de x0 et y revenant en entourant, respectivement chacune, un des points a. La forme de ces courbes est indifférente; pour bien préciser, nous prenons pour chaque point a la courbe suivante : on joint x0 à un point très voisin de a, on décrit autour

de a un cercle très petit et l'on revient au point x0 par le même chemin qu'à l'aller. Un tel chemin est dit un lacet.

Ceci posé, tout chemin allant de x0 à un point x se ramène évidemment à un chemin allant de x0 à #„, suivi d'un chemin deter-

Fig. 24.

miné allant de xQ à x; il suffit, en effet, d'ajouter au chemin considéré le chemin détermine xx0, que l'on fait suivre du chemin de sens inverse x0 x. Il faut donc envisager les différents chemins partant de x() et y revenant. Or je dis que tous ces chemins retiennent aux différents lacets parcourus successivement et dans un ordre quelconque.

Pour le voir bien nettement, on suivra le chemin C4 jusqu'à lu rencontre en a avec un lacet; on quittera alors C pour suivre le lacet jusqu'en x0, ce qui donne visiblement une somme de lacets (les lacets a{ et a2)\ puis on rétrograde de x0 en a, et en a on reprend le chemin (î jusqu'à ce que eelui-ci rencontre un nouveau lacet, soit (3 ce point de rencontre. En 3 on quitte de nouveau G pour suivre de ^ en j„ li* lacet rencontré. On a mis en évidence «le nouveau, par le chemin Xoafix0) un»' nouvelle somme de lacets (cette somme peut se réduire ■■ zéro, comme il arrive dans le cas de la ligure). On rétrograde alors dea?0en [1. r\ eri (3 <m reprend lecheruin G et l'on continue .linsi jusqu'à ce que l'on ;iit parcouru tout uemin. Le chemin G se présente alors de la manière la plus nette comme équivalant à une somme <!<' lacets. Dans le cas de la figure, le chemin C est équivalent aux lacets c,, a2: av successivement parcourus.

3. La remarque fondamentale qui précède \.» nous permel Ludier s;ms peine les diverses valeurs de l'intégrale 1 1^. Suppo-

sons d'abord que l'on considère seulement des chemins partant de x0 et y revenant. Les valeurs de l'intégrale le long des lacets vont jouer le principal rôle : soit, par exemple, le lacet a,. La valeur de l'intégrale sur le lacet se compose de deux parties, l'une est relative à l'aller et l'autre au retour; quant à l'intégrale sur le cercle infiniment petit, elle tend vers zéro avec le rayon de ce cercle. 11 peut sembler au premier abord que les deux intégrales se détruisent puisque les dx à l'aller et au retour sont égaux et de signes contraires; mais y/R(^c), rayant tourné autour du point aKi n'a plus la même détermination au retour qu'à l'aller et, par suite, les éléments s'ajoutent au lieu de se détruire. Soit A, la valeur de l'intégrale

a\f(x)dx

quand on suit le chemin tracé pour le lacet, et que l'on prend

pour \/R(.r0) une de ses déterminations que nous désignerons par y0 ; la valeur de l'intégrale correspondant au lacet tout entier sera, d'après ce que nous venons de dire, 2A,. Soient de même

2A2, ..., 2Aa,

les valeurs de l'intégrale correspondant aux autres lacets, la détermination initiale de yl{(x)1 quand on parcourt chacun de ces lacets, étant toujours supposée égale à y0.

Tout chemin, ayant x0 comme points de départ et d'arrivée, se ramenant à une somme de lacets, nous n'avons aucune difficulté à avoir maintenant la valeur de l'intégrale correspondante. Supposons que le chemin équivaille aux lacets

successivement parcourus; nous aurons comme valeur de l'intégrale

On remarquera que les signes plus et moins alternent dans cette somme; c'est que, après avoir parcouru le premier lacet a\^ nous revenons en x0 avec la détermination — y0 du radical, et la valeur du second lacet est alors — aAx, au lieu de -H ^Ax, que nous

aurions trouvé si nous avions décrit le lacet a\ avec la déterminais

tion initiale -\-y0 pour le radical. Pour le troisième lacet, au contraire, nous avons au début, après deux changements de signe, retrouvé la détermination initiale y0 et par suite nous avons -f- 2 A>s et l'alternance des signes est, après ces explications, bien manifeste.

Deux cas sont à distinguer suivant que p est pair ou impair. Si/? est pair, l'expression (2) pourra se mettre sous la forme

(3) imx 6*1 -+- 2 w2io2 -h. . .-h 2/ttji-i w^-i, les m étant des entiers positifs ou négatifs, en posant

w, = A,— A2, w2=Ai — A3, ..., tOfx-j = Ai -— A^

On peut d'ailleurs choisir un chemin tel que l'on trouve pour valeur de l'intégrale l'expression (3) : il suffira de décrire mh fois l'ensemble des lacets aK et a2, puis m2 fois l'ensemble des lacets a{ et «3, et ainsi de suite.

Si p est impair, en ajoutant à l'expression (2) — 2A1 + 2A1, on la mettra sous la forme

(4) 2m.i w,-+-. . .-4- ?.m!Hw|i 1 + 2 A,.

Nous avons donc représenté par (3) et (/j) toutes les déterminations possibles de Vintégrale pour un chemin partant de x0 et y revenant. On donne aux quantités 2to le nom de périodes de Vintégrale hyper elliptique.

Il est important de remarquer que ces périodes ne dépendent pas du choix du point X0. Ainsi, par exemple, la période

n'est autre chose que L'intégrale prise Le long d'an contour contenant à son intérieur les deux points a , et aa, contour que I on peut déformei] d une manière continue sans changer La valeur du mitai de L'intégration.

'». Gonsidérons maintenant un chemin particulier c allant •l'eu x\ soit I la valeur de L'intégrale pour ce chemin, la valeur

initiale pourle radie. il ••tant toujours rn. Gomme nous l'avons déjà

dit, tout chemin L allant de x0 en x se ramène à un chemin G revenant à x0, suivi du chemin c. Si G équivaut à un nombre pair de lacets, la valeur de l'intégrale sur L sera de la forme

imx toi -+- •2m2to2-l-. . .-f- -iniu+iixiy-i -h f.

Si C équivaut à un nombre impair de lacets, on aura

2m1Wi + ...+ 2//î|,.-ia)||-1+ 2 A! — I,

car, quand on reviendra en x0 après avoir décrit G, on aura pour le radical la détermination — jr0 et, par suite, le chemin c, qu'il reste à décrire, donnera — I.

On peut dire que l'intégrale (i) «, au point x, deux déterminations de types distincts

I et 2A,- I;

les autres déterminations s1 obtiennent en ajoutant à celles-ci des sommes de multiples des périodes 2w.

La notion de la périodicité des intégrales, rapidement indiquée par Cauchj, a été particulièrement approfondie par Puiseux dans son Mémoire sur les fonctions algébriques (Journal de Mathématiques, i85o).

II. — Des intégrales de première espèce : réduction du nombre des périodes. Intégrale elliptique.