Parmi les intégrales de la forme

f(x)dx

v/ïï^y

oùf(x) est un polynôme, on désigne sous le nom d'intégrales de première espèce celles qui restent finies quand x augmente indéfiniment. Ces intégrales restent donc finies pour toute valeur finie ou infinie de la variable (voir t. I, p. 63).

Quand le degré y. de R(#) est impair, soit pi = 2p-\-i, l'intégrale sera de première espèce si le degré de j (x) est au plus égal à p — i . Il y a p intégrales de première espèce linéairement indépendantes.

Quand [A est pair et égal à ip, le degré de f(oc) ne doit pas

INTÉGRALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES. 2'3o,

dépasser p — 2 et il y a alors p — 1 intégrales de première espèce linéairement indépendantes.

Evaluons le nombre des périodes de l'intégrale. Pour ja = ip -f- 1 , il y aura ip périodes et l'on ne peut pas, du moins en général, faire subir de réduction à ce nombre.

Pour ul = 2/?, nous trouvons, en appliquant la théorie du paragraphe précédent, un nombre de périodes égal à ip — 1, mais une réduction immédiate se présente, qui va diminuer ce nombre d'une unité. Envisageons, en effet, l'ensemble des lacets autour du point x0 : l'intégrale prise le long de ces lacets sera nulle. En effet, le point à l'infini est un point ordinaire pour l'intégrale : l'intégrale prise le long des lacets a donc la même valeur que si elle est prise le long d'un cercle de très grand rayon et est, par conséquent, nulle. On ;i donc, les lacets se suivant dans l'ordre 1, 2, . . . , u.,

A,— A* -h A3 — . . . — A{jl= o, qui peut s'écrire sous la forme

r,) , — f,y 2 -+- . . . -f- ktl y. - 1 = O .

On voit donc que lune des périodes W|j.4, par exemple, est une combinaison linéaire à coefficients entiers de bit co2, . . ., tOjx a.

6. Faisons maintenant une remarque importante sur la réduction du nombre des périodes. Les périodes seront dites distinctes s'il n'existe ru ire elles aucune relation homogène et linéaire à coeffi- « ients entiers; il peut arriver qu'entre les périodes trouvées w existe une ou plusieurs relations de cette nature.

Soient

les périodes <|u<- nous venons de trouver; on suppose que l'on ait les relations, en nombre X,

m, '.), -h /»2''>-2 ■+-...-+■ mn '<>„ = o, 7i W| ■+■ 72^2 -+-. . .-h q„Mn >

m, 7, r étant entiers. De plus ces relations peuvent être supilgébriquement distinctes, c'est à-dire que l'on peul <-n tirer

l4o CHAPITRE VIII.

les valeurs de X des quantités oj en fonction des autres. Ceci revient à partir de l'hypothèse que

ri—rn... i i ,.n-rn

( w„ = ^-OTo), -+- . . . -h \i.'in

les jji étant rationnels.

Toute période est de la forme

les M étant entiers, et, en remplaçant w/w+n . . ., to„ par leurs valeurs (5), on aura une expression homogène et linéaire en o^, cj2, . . ., wm à coefficients rationnels. Aucun de ces coefficients ne peut s'approcher, quelque choix qu'on fasse des entiers M, autant que l'on veut de zéro sans devenir rigoureusement nul, puisque les (jl sont rationnels. Ces coefficients ont donc, en dehors de zéro, un minimum pour leurs valeurs absolues.

La période 0 étant écrite sous la forme

et A désignant un des nombres i, 2, ..., m, considérons toutes les périodes û pour lesquelles

° = />p=i si [3 < X, o =p$ si (3 > X.

Il y a manifestement de telles périodes, puisqu'il suffit de prendre Q = u>\. Parmi toutes ces périodes qui, d'après la remarque faite, sont en nombre limité, il y en a une pour laquelle le coefficient p\ a la valeur minima. Désignons par p^, . . ., p^] les valeurs des coefficients p correspondants.

En faisant successivement X = i, 2, ..., m nous aurons les périodes

et ces relations permettent d'exprimer les o> en fonction des Q.

Toute période peut s'exprimer eu fonction linéaire de Ûtl Q2, . . ., ûm : nous allons montrer que les coefficients sont entiers. Soit

Q = Pi toi -(-... -+- P m <*>,«

une période, les P étant rationnels.

On peut écrire Pm sous la forme

vm étant un entier et P'OT étant positif et inférieur à //". On pourra ensuite déterminer un entier vw« tel que

p ,. n'H -1 • ,, rt'ii , pi

r//i— 1 — 'f>i — \['m—\~r~ 'mt'm-\^^ l fft-1)

P'm, étant positif et inférieur à /?JJlJ •

On continuera ainsi, et la dernière égalité sera

Pi = vi/?i -+- v2/>| -f-. . . -h vOT/?f -h p; ,

avec o 2 P i ^i0!) les valant tous des entiers positifs ou négatifs. La période Q est alors de la forme

vj Q, -h . . . -h v,„ Qm -h P\ wj -+- P'a o>2 -h. . . -h P'm o>„, . Or les m premiers termes étant des périodes, il en résulte que

est une période. Mais nous avons

oîp\<pI o P'2</>2 o<P'm </>;».

Dans ces conditions, L'expression (6) ne peut être une période que si les P' sont tous nuls : cela résulte de la définition même des quantités p\, p\, ..., p'"r En effet, si Vin n'était pas nul, pour que l'expression (6) lût une période, il «levait être au moins égal à p™ ; or il est inférieur â />'", donc Pfm o ; et de proche en proche on démontre pareillement que tous les P' sonl nuls. < >n a donc finalement

/ étant des entiers. Remarquons encore qu'entre Q,, Qa, ..., il,,, il n'existera pas de relation homogène el linéaire à coefficients