Revenons à l'intégrale de première espèce

' f{x)dx

R(^) étant, pour fixer les idées, de degré u, = ip -f- 1 etf(x) étant alors de degré p = 1 . Nous avons trouvé ip périodes pour cette intégrale. Nous démontrerons plus tard que, si le polynôme f(x) de degré p — 1 est pris arbitrairement, les ip périodes sont distinctes. Dans certains cas particuliers, les périodes distinctes peuvent être en nombre moindre, mais'nous allons établir qu'i7 doit y avoir au moins deux périodes distinctes.

Supposons, en effet, que l'intégrale u n'ait qu'une période to. Pour chaque point x, cette intégrale aura les deux systèmes de

valeurs (§ 4)

u -h Xu>, 9. At — u -+- \jna,

\ et p. étant deux entiers.

Si donc on considère la fonction de x