Kiu ( 2 A , — u ) 2 TZ i
cette fonction sera uniforme : l'addition à u de multiples de oj et la substitution à u de 2 A, — u ne changent pas, en effet, la valeur de cette expression. D'autre part, u reste finie pour toute valeur
(J) Le mode de démonstration que nous venons de suivre a été employé par M. Weierstrass pour établir un théorème plus général; voir Monatsberichte^ 1875 (Neuer Beweis eines Haupsatzes der Théorie der periodischen Functionenvon mekreren Ver ànder lichen). On pourra aussi consulter, sur des questions analogues, un article de M. Kronecker dans les Sitzungsbericlite der Berliner Akademie (1884 )•
finie ou infinie de x\ la fonction précédente est donc partout holomorphe même à l'infini, elle se réduit donc à une constante d après le théorème de Liouville. Mais ce résultat est manifestement absurde; l'expression précédente est une fonction rationnelle de
2 TZ in
qui ne peut être constante que si u est lui-même constant. // est donc impossible d'admettre que u riait qu une période.
8. Il est facile d'indiquer un exemple très simple d'intégrale do première espèce où une réduction se produit dans le nombre des périodes. Prenons pourR(x) le polynôme du sixième degré pair
Les deux intégrales de première espèce
/dx r x dx
V/Rl^) J y/HT^'
se ramenant, en prenant x'1 pour variable, à des intégrales elliptiques, n'ont que deux périodes.
Dune manière générale, on peut ramener une intégrale où figure rationnellement la racine carrée d un polynôme du sixième degré à une intégrale de même nature où le polynôme est du cinquième ré; soit par exemple le radical
\j{ x — a , ) ( x — a2 ) ( x — a:i ) . . . ( x — a6 ). En posant
a |__ Tg 1 at— a a 1
y.t-^'i [ a* — a\ («1 — «t) (*t — az)\
on a !<• radical portant sur un polynôme du cinquième degré
/*(i — t) (1— at) (1 — bt) (1— et), en écrivant
(aa— a5) (ai — n* > («i- - "., » («» — «*i )%
" (ai— av) (a,— «,)'
or, si le polynôme du sixième degré ne renferme que des puissances paires de la variable, on aura
«2 = — ai, a4 = — a3, a6 = — a$,
et l'on voit que dans ce cas
c = ab.
On est donc conduit à ce résultat indiqué autrefois par Jacobi {Journal de Crelle, t. 8) que deux intégrales de première espèce, relatives au radical portant sur un polynôme du cinquième degré,
\Jx(\ — x) (i — ax) (i — bx) (î — abx),
a et b étant deux constantes arbitraires, ont seulement deux périodes ( ' ) .
Indiquons un second exemple de réduction donné par M. Hermite {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1876).
Si Ton pose
R(*) = 02— a) (Sz* — 6az — b),
a et b étant deux constantes quelconques, on aura, comme le montre un calcul facile,
dz 1 P dx
r dz 1 r
J v/ÏÏ77j " 3 J /(2ax
en posant
Azz — 3az x = •
On aura aussi
z dz 1 r dy
r z dz 1 r
J s/R(T) " 77! J si y
3ay
(') On trouvera quelques théorèmes généraux relatifs à la réduction du nombre des périodes dans les Mémoires suivants :
E. Picard, Sur ta réduction du nombre des périodes des intégrales abéliennes {Bulletin de la Société mathématique, t. X, i883).
H. Poincaré, Sur la réduction des intégrales abéliennes (Bulletin de la Société mathématique, t. XII, 1884 ).
S. Kowaleski, Ueber die Beduction einer bestimmten Klasse abelscher Intégrale auf elliptische Intégrale (Acta mathematica, t. IV, 188^).
Goursat, Sur la réduction des Intégrales hyperelliptiques ( Bulletin de la Société mathématique, t. XIII, i885).
en posant
iz3 — b
Il en résulte que les deux intégrales
/dz r zdz
/R(I) n J /RÎT)
n'ont que deux périodes.
9. L'application à l'intégrale elliptique du théorème démontré au n° 7 est particulièrement intéressante. Soit l'intégrale elliptique de première espèce
/* dx
) {x — b) (x — c) (ar — d)
<7, 6, c, */ étant quatre quantités distinctes. Nous venons de voir que les deux périodes de cette intégrale étaient distinctes. On peut aller plus loin et montrer que leur rapport est nécessairement imaginaire. Si ce rapport était réel, il serait incommensurable. Or à la place de a mettons l'indéterminée z; le rapport des périodes de l'intégrale
dx
sera une fonction liolomorphe cp( z) de z dans le voisinage de z = a : les deux périodes 2(B — D), 2(G — D) seront, en effet, fonctions holomorphes de z puisque les intégrales B, G, D, correspondant aux lacets qui aboutissent aux racines 6, c, d, sont elles-mêmes holomorphes, leurs éléments jouissant manifestement de cette propriété. Nous supposons que pour : ; = <7, <?(z) se réduise «à un nombre réel u; or l'équation
si 1 on prend [/suffisamment voisin de ;;., a au moins une racine voisine de a (•). Mais nous pouvons prendre pour u.' un»' quantité
(') Noua noii^ appuyons m sur le théorème fondamental relatii i II continuité de* racines d'une équation, théorème qui sera démontré au Chapitre suivant.
réelle commensurable aussi rapprochée qu'on voudra de jj. et nous aurons alors une valeur de z correspondante très voisine de a et, par conséquent, distincte de b, c, d\ nous serions donc ramené au cas dont nous avons démontré l'impossibilité (§ 7). Nous avons ainsi démontré le théorème suivant qui est fort important (1) :
Le rapport des deux périodes de V intégrale elliptique (8) est imaginaire, les quatre racines a, b, c, d étant distinctes.
10. Arrêtons-nous un moment sur la forme canonique, dont ont fait usage Abel et Jacobi, pour l'intégrale elliptique de première espèce,
dx
vV — x2) (i — Px*)
et considérons le cas, particulièrement intéressant pour les applications, où k est une constante positive inférieure à l'unité.
Nous avons dans ce cas les quatre points critiques i, j, — i,
— t' Le premier lacet sera relatif au point i et sera obtenu en
joignant l'origine à ce point par une droite; le second lacet sera
obtenu enjoignant l'origine au point y par un segment de droite,
en évitant seulement le point i par un demi-cercle infiniment petit situé au-dessus de l'axe des quantités réelles.
Les troisième et quatrième lacets seront respectivement les symétriques des deux premiers par rapport à l'origine. On va supposer qu'on parte de l'origine avec la valeur -f- 1 pour le radical, nous poserons
K = f' dx
Calculons la valeur de l'intégrale prise de o à -r, le point i étant évité comme il a été dit. Nous aurons d'abord K en allant de o à i ;
(l) J'ai donné, pour la première fois, la démonstration précédente dans mon Cours en 1887.
INTÉGRALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES. lt\7
il faut voir ce que deviendra le radical quand x va décrire le segment de droite (i , t ) • Siv nous posons
x allant de o à i , nous pourrons prendre 0 == o el faire varier p de i à o; p restant fixe et très petit, le point x décrira le demicercle indiqué autour du point i, si l'on fait varier 9 de o à — 7t; par suite, \J \ — x doit être remplacé, quand x sera plus grand que un} par
\J x — i e 2 ou — i \[ x — i ;
donc, de i àp nous aurons l'intégrale
dx
que nous désignerons par t'K', la constante K' étant comme K essentiellement positive. De o à t' nous avons donc l'intégrale
Les deux autres lacets donnent évidemment des quantités égales et de signe contraire. Par suite, en se reportant aux généralités relatives aux périodes des intégrales hyperelliptiques, nous aurons
les deux périodes
4K et }.i¥J.
il. 11 est important de calculer la valeur de l'intégrale
dx
Cette intégrale n'a de sens bien déterminé que m l'on Bxe le chemin suivi; nous supposerons qu'on suive l'axe réel positif, en
évitant seulement les points i et -. ;« l'aide de deux demi-cercles
infiniment petits décrits au-dessus de l'axe réel. Nous avons d'abord
K-f^ iK'
pour le trajet de o à r- Quand x est supérieur à j > on voit, en raisonnant comme plus haut, que l'élément devient
— dx
et nous aurons l'intégrale cherchée en ajoutant à l'expression (9) l'intégrale
dx
Or cette intégrale se calcule de suite, en faisant le changement de variable
kx = — >
et l'on voit immédiatement que la dernière intégrale est égale à — K. Nous avons donc
/•" dx
l'intégrale étant prise dans les conditions indiquées.
III. — Quelques théorèmes généraux sur les approximations. Théorèmes de Jacobi sur l'impossibilité d'une fonction uniforme à trois périodes.
12. Nous avons parlé dans la Section précédente de la réduction du nombre des périodes; au même ordre d'idées se rattache l'étude de la résolution approchée, au moyen de nombres entiers, de certaines équations linéaires. Cette question importante trouve des applications dans plusieurs questions d'Analyse, et doit son origine au travail de Jacobi sur l'impossibilité d'une fonction uniforme d'une variable à trois périodes distinctes. Il ne sera pas inutile de lui consacrer quelques pages.
13. Soient tout d'abord co, a)', o/ trois nombres complexes tels que l'on ne puisse satisfaire à la relation
avec des entiers réels m, m', m", sans que ces entiers soient nuls. Nous allons établir que l'on peut trouver des entiers m, m', m" (non tous nuls) tels que l'on ait
|mo) + mr(o'+ m" w" | < e,
s étant une quantité positive donnée à l'avance, aussi petite que l'on voudra ( * ).
Soient
<j> = a -\- bi, w'= a -\- b' i, 0/ = a" -\-b"i.
Nous allons montrer qu'on peut choisir les entiers m, ni , m\ non tous nuls, tels que
| ma -h m a ■+■ m" a"\ et j mb -+- m! b'-{- m" b" |
soient inférieurs à un nombre positif donné à l'avance, aussi petit que l'on voudra.
Nous suivrons un mode de démonstration, dont le principe est dû à Dirichlet, et qui a été utilisé par Kronecker dans des circonstances très générales (voir l'article cité au paragraphe 6 de ce Chapitre). Soit t un entier positif arbitraire; considérons la suite
des 2 t2-\- i entiers
et donnons à m, m' , m" des valeurs comprises dans cette suite. En les substituant dans
ma -+- m' a' -h m" a* et mb -h m b' '-f- m" b" ',
nous aurons (2£2n- i)3 systèmes de valeurs. Ces systèmes des vuleurs seront distincts; sinon, pour deux systèmes différents des r/i. soient ul. |x', ul" et v, /, v", on aurait
fia -h |j/a'-+- \x" a" =va + v'a'+ v'a*,
(•) On jtourr a consulter sur ce sujet : Gaston Julia, Remarques sur le théorèmt di Jacobi... (Bulletin dos Science* mathématique*! février 1922), <>n se trouve étudiée la répartition des points <•/•<'.> • m'ta'-k- m'tù" danâ le plan complexe; il y a deux cas possibles :
1" Ou bien ces points se répartissent dans u»nt le plan <t ilt en a une infinité dans toute aire du plan, si petite loil < ll< :
20 Ou bien . rs points se répartissent sur une infinité de droites parallèles éqm distantei et il y en a un<- infinité Hir toul segment '!<• chacune de ces droit»
sans que l'on ait à la fois u = v, fJi' = v', a"= v". On en conclurait, en posant
IX — V = 7:, JJl' — V' = 7l', JJl" — V* = 7l",
les relations impossibles
7i a 4- ic' a' -+- **<&" = o, tt6 h- ir'6'-+- 7c"6" = o.
Ceci posé, considérons le rectangle ayant dans un plan, où sont tracés deux axes rectangulaires Ox et Oy, son centre à l'origine et pour côtés respectivement
2(1 « I H- | *'!-+- ! a'\) t* et 2(| b | -f- 1 6'| 4- | &"[)**.
Nous partageons chaque côté de ce rectangle en t* parties égales, et nous obtenons ainsi t6 rectangles partiels. Tous les points de coordonnées
ma -h m'a' -h m" a" et mb -t- m' b' -+- m" b"
sont situés dans le grand rectangle. Or, nous avons (2t2-\-i)'i points distincts de cette sorte, tandis qu'il y a seulement tQ rectangles partiels. Par suite, il y a un rectangle partiel qui contient deux des points. Faisons alors les différences des x et desj^ de ces deux points; ces différences seront de la forme
pa -f- p' a' '-t- p" a", pb -h p' b ■+- p" b" , Pi Pi P n'étant pas nuls à la fois. On aura donc \pa+p-a<+p-a-\< »( I "1 - l«'J ->- I «*|)" = »(!« I -H«'l -H «' I), \pb +p<V + pb-\< '(IH + KI-Hyi)'' = »(|t| + |6'| + lft"D
Or t est un entier aussi grand que l'on veut, et le théorème est par suite établi.
14. Jacobi a déduit du théorème précédent qu'une fonction uniforme ne pouvait avoir plus de. deux périodes distinctes. Supposons en effet qu'une fonction uniforme /( z) n'ayant dans tout le plan que des pôles, le seul point à l'infini étant un point singulier essentiel, ait trois périodes distinctes
INTÉGRALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES. lb\
On aura, quels que soient les entiers m, m', m" ,
f(z-^-mo>-+- m' m' -h m" 10" ) = f{ z).
Or, considérons un point déterminé, d'ailleurs quelconque, z0 du plan et soit
L'équation
admet la racine z0} et l'on peut tracer une circonférence G de
centre z0, telle que l'équation précédente admette dans ce cercle
la seule racine 20; ceci est une conséquence de ce que l'équation
peut s'écrire
/<*)-/(*o) = o ou
(z — zQ)<\>(z) = o,
la fonction à(z) holomorphe autour de zQ étant différente de zéro pour z = z0.
Faisons maintenant intervenir la condition que f(z') admet les trois périodes indiquées. On pourra choisir les m de telle sorte
que
zQ-\- mu h- m'w'-h m"io"
soit aussi rapproché que Ion voudra de ;0, sans coïncider avec lui.
L'équation
aurait donc une infinité de racines dans le voisinage de s0, ce qui ne peut être. Celte contradiction démontre le théorème.
15. Le théorème du u° 13 peut êlre généralisé. Soil un tableau de nombres réels
" \, ^5, • • • , &ip-hl, 0\, Oj, . . . , 65^4-1,
'|, /j, • . . , lif)
où il y a ip -f- î colonnes, et ip lignes. On suppose qu'il ue soil possible de satisfaire au\ ;./> équations
mt aK -»- m, rrj -+- . . . -+- m,/(+, a2/,-+-, = o, m, 6, + m,/i,4-...-4- m2/, <,£,,,+ , — o,
par des entiers m qui ne soient pas tous nuls. Nous allons montrer qu'on peut choisir les entiers m de manière que les premiers membres des équations précédentes soient en valeur absolue moindres qu'un nombre donné, si petit qu'il soit (').
On peut reprendre le mode de démonstration du paragraphe 13. Donnons aux m les valeurs
— t*P, ..., o, i, 2, ..., V-p (t entier positif)
en nombre it-P-\-\. Nous aurons ainsi des systèmes d'expressions
rrt\ <X\ -+-. . . -f- mj/J+i a2/^-*-i)
en nombre
(it^p^-iyp+K
Ces systèmes seront distincts, car autrement, pour certaines valeurs de m, les expressions seraient nulles à la fois. Partageons maintenant les ip intervalles
/ (| a% | -t-.. .-h | a2p+l\)t*P7 + (| at\ -4-. . .-*- 1 a,p4-i |) «*/»-,
( — (|/il +...+ |/sp+i !)/*/», H-(|/i |-H...-+-|^-hi|)^,
en ^2/,+| parties égales. On aura dans l'espace à ip dimensions un grand /?se^(io-parallélépipède dont les ip dimensions seront les intervalles (I) dans le sens de chaque axe de coordonnées, le centre du parallélépipède étant à l'origine. Après la division, on aura partagé le parallélépipède en
parallélépipèdes élémentaires. Ce nombre est moindre que le
nombre
(ipp^-if-P^
des systèmes d'expressions écrits plus haut. Deux points de
( ' ) Ce théorème a été démontré pour la première fois par M. Hermite dans sa quatrième lettre à Jacobi Sur différents objets de la théorie des nombres (Opuscula Mathematica de Jacobi, t. II, et Journal de Crelle, t. 40). M. Hermkte utilisait, dans sa démonstration, ses théorèmes généraux sur la réduction arithmétique des formes quadratiques définies.
l'espace à ip dimensions correspondant à deux systèmes d'expressions seront dans le parallélépipède élémentaire. On en conclut que, pour certaines valeurs des entiers ix (non toutes nulles), on a
I Ki «i ■+■ f*î «2 -+- . • • ■+■ pip+i ctiv+\ i < ; *
I Ki «i 4- Ht h -+-. ..-+- f*2jH-i '2/M-1 I < :
Donc, £ étant aussi grand qu'on voudra, on en conclut le théorème énoncé.
De ce théorème peut se conclure facilement qu7/ ne peut exister de fonction uniforme de p variables ayant plus de 2p périodes simultanées, proposition (') qui généralise celle de Jacobi, mais nous ne pouvons pour le moment insister sur ce point, qui concerne la théorie des fonctions de plusieurs variables.
16. Le mode de démonstration dont nous venons de faire usage peut être utilisé dans diverses questions d'approximation numérique. Donnons-en encore un exemple intéressant, quoiqu'il ne se rattache pas directement à l'objet de ce Chapitre.
Soit d'abord a un nombre positif incommensurable. Considérons
l'expression
où nous donnons à y successivement les valeurs entières
o, i, -2, ..., t i t entier positif).
On peut évidemment choisir, pour une valeur donner * i « • \ . L'entier x de telle sorte que l'on ait
Or, partageons l'intervalle (o, i) en t parties égales; nous obtenons ainsi t intervalles partiels. Les t h- i valeurs trouvées pour x — ay seront donc telles qu'il y en aura deux dans l'un de ces
(') Cette proposition a été indiquée paï M. Hermite «Ijns une dea letti Jj* obi citrrv ping haut.
intervalles partiels. La différence de ces deux valeurs, soit m — an, sera donc moindre en valeur absolue que -•
On a donc des entiers m et n, non nuls tous deux, tels que
an\<
On a d'ailleurs n < f , par suite
nt n5
c'est le résultat auquel conduit la théorie des fractions continues. Ces considérations sont susceptibles de généralisation. Soient a et b deux nombres qui ne sont pas tous deux commensurables. Donnons à l'entier positif z successivement les valeurs
o, i, 2, ..., t* (t entier positif), et associons-lui les entiers x et y tels que
o < x — az < i, o <iy — bz < i.
On obtient ainsi t2 h- i systèmes de valeurs x — az et y — bz. Marquons sur plan aux axes O?, Or, les points de coordonnées
bz.
Si nous partageons les intervalles (o, i) sur l'axe des \ et sur l'axe de i\ en t parties égales, le carré construit sur ces deux longueurs se trouve partagé en t2 carrés partiels. On aura donc deux points (£, Tj) dans un même carré. On peut donc trouver des valeurs entières pi, v, m telles que
| fx — am | < - , | V— bm | < - ;
en y joignant l'inégalité m < t2, on voit que l'on aura
if m
Ainsi étant donnés deux nombres a et 6, on peut les représenter par deux fractions — et — de même dénominateur m, l'erreur étant moindre que
m \j m Si au lieu de deux nombres on avait k nombres
on pourrait les représenter par les fractions de même dénominateur
Terreur étant moindre que
m y/ ni
On le voit, par un raisonnement analogue, qu'il est inutile de développer.
Ces résultats ont été obtenus par M. Hermite dans les lettres à Jacobi déjà citées, au moyen d'une analyse, d'ailleurs tout autre, se rattachant à la théorie arithmétique des formes quadratiques.
IV. — Exemple de fonction non uniforme représentée par des intégrales. Série hypergéométrique. Rapport des périodes de 1 intégrale elliptique comme fonction du module.
17. Nous allons nous arrêter sur un exemple très intéressant de fonction non uniforme représenté*' par une intégrale définie. En
mt
ç(« ) = Ua( Il — \)h( U — .'
nous considérons les intégrales définies
U0 = I p (te) du.
Ut = / '■?("> ,/,i-
V»= I f( a) du ,
u0 désigne une constante distincte de o et i . Pour une valeur déterminée de x, ces intégrales ont un sens parfaitement déter-
Fig. 25.
oc
miné, si l'on a fixé le chemin allant de u0 aux points o, i et oo, et si, bien entendu, on a
Marquons sur le plan des a le point u0 et les points o, i„ x (jig. 26) et traçons les lignes
w0o, w0.r, «o1? «oxî
ces lignes se suivant autour de u0 dans l'ordre qui vient d'être indiqué. Introduisons encore l'intégrale
U.r= / y{u)du (X > — 1).
Les U peuvent être considérés comme des fonctions de x : les
différences
to,= U.r— U0,
(02= U.r — Ut
sont donc des fonctions de x. Ce sont ces fonctions de x que nous voulons étudier; elles ont été envisagées par Gauss dans un Mémoire célèbre ('), et nous aurons à revenir sur l'équation différentielle linéaire du second ordre à laquelle elles satisfont. Nous voulons les regarder en ce moment comme des fonctions
(J) Gauss, Œuvres complètes, t. III.
non uniformes de x, et chercher quelle est la nature de leurs déterminations multiples (*).
18. Tout d'abord, considérons dans le plan les lignes w0o, u0i1 u0co comme des coupures, c'est-à-dire que nous astreignons, pour le moment, x à ne pas franchir ces lignes : les U sont alors des fonctions bien déterminées de x. On suppose que l'on ait choisi, une fois pour toutes, une détermination pour
et l'on n'a pas à changer cette détermination une fois choisie, puisque X ne tourne pas autour de u0 s'il ne franchit pas les coupures. Ajoutons encore que, quelle que soit la position du point .r, la ligne u0 x part toujours de u0 en étant comprise dans l'angle i '/Oo; c'est moyennant ces conditions que nous pouvons dire que les L son! des fonctions uniformes de x.
Ou trouve de suite une relation entre les U : en effet, en intégrant le long <lu contour formé par les coupures considérées comme lignes doubles, on obtient la relation
(lt>) ,i e2'"'^;LTo-h [eiain— e2<«+>^]Ur
Les facteurs exponentiels proviennent des rotations sur des cercles infiniment petits décrits autour des points critiques. Pour le poinl à l'infini, comme nous l'avons déjà expliqué, un tel cercle e^i remplacé par- un cercle de rayon infiniment grand.
Ceci posé, nous voulons chercher quelles relations il y a entre valeurs dea fonctions w, et (o2 quand le point r est d'abord sur le bord gauche de la coupure i*0o el ensuite sur le bord droit «le cette même coupure. Désignons par
eue recherche ;i été faite d'abord pai M. SchUffli < Mathemat. Innalen, t ni;, et. dans ^;i remarquable Thèae ( innale* dr l'École Normale y iv M. Gouraal i fail l'étude approfondie dea relation! qui existent entre cee diffi rentea intégrales. La méthode tuirie dans le texte r^t celle que j'ai indiquée dans \t Bulletin <!■ mathématique* (i885).
