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les valeurs de LJ quand x est en x' sur le 'bord droit de la coupure. On doit considérer que x et x sont deux points géométri-

Fig. 26.

quement confondus : l'un est sur le ^bord gauche, l'autre sur le droit (fig. 26). On aura évidemment

le passage de x à x n'a aucune influence sur la valeur de ces intégrales. Il en est autrement pour U0 et U^ et le point essentiel est de trouver U'0 en fonction des U; or on y parvient de suite par le raisonnement suivant. On a

Quand x passe en x' , tous les éléments de l'intégrale U0 — U^ sont multipliés par e~2i7r\ puisque [u — x)1 se trouve multiplié par e-2m\ le point u étant à l'intérieur du contour que décrit x dans un sens supposé négatif. On a donc

Ce point bien compris, il n'y a plus aucune difficulté. L'équation (10) et l'équation analogue relative aux Ur nous donnent par soustraction

(i eiain) (U; — U0) ■+- [«*'»'*— e«(a+X)mj (TJ^— U.c) = o.

Les équations écrites nous permettent d'avoir les U' en fonction des U et, par conséquent, en posant

W'1 = U^-U'0 et »i=-Ufc— U't,

les \aleurs des to' en fonction des te. On trouve ainsi

w'2 = w2 -+- [g-2(a+)Jm e-t\in] W|.

Nous pouvons maintenant énoncer sous une forme un peu différente le résultat que nous venons d'obtenir. Concevons que l'on supprime la coupure u0 o, et que #, partant d'un point d'ailleurs arbitraire, revienne en ce point après avoir tourné une fois autour de o dans le sens négatif; u>4 et o)2 ne reviennent pas au point de départ avec les mêmes valeurs, mais avec des valeurs io\ et oj'2 liées à oj, et ti>2 par les formules (S,). On peut dire qu'à une circulation autour du point zéro correspond la subtitution (St ).

La même méthode nous donne, sans presque y rien changer, la substitution qui correspond à une circulation autour du point un. Pour la trouver, nous supposerons cette fois le point x d'abord

Fig. 27.

sur le bord droit de la coupure ^o1 et ensuite sur le bord gauche de cette même coupure {fig, 27), Désignons par