D" II" U" U
les valeurs des U quand x est en x" sur le bord gauche de la coupure. Nous aurons
et Ton a, en opérant comme plus h;» ut,
équations d'où non- tirons
tu] = M|+ [e* ctïiTi],
«■n posant
2ÔO CHAPITRE VIII.
La substitution S2 correspond à une circulation autour du point i .
19. Nous venons de voir comment se modifient w, et w2 quand la variable x tourne autour du point zéro et autour du point un. Pour la substitution S| la circulation correspond à une circulation dans le sens négatif, et S2 est relatif au sens positif. Les substitutions inverses de S4 et S2 donneront manifestement les nouvelles valeurs de la fonction pour des circulations respectivement de sens contraires.
Les substitutions (S,) et (S2) permettent de trouver toutes les valeurs possibles de la fonction. En effet, les fonctions co, et w2 iront d'autres points singuliers que les points zéro et un. Pour le voir bien nettement, remarquons que U0, U4, U. ont pour points singuliers à distance finie
car si Ton considère tout autre point x0 et si l'on suppose, comme il est permis, que les coupures ne passent pas par ce point, les intégrales U0, TJn U„ seront des fonctions holomorphes de x dans le voisinage de x0 comme la fonction sous le signe somme
ua(u — \)b(u — x)^;
Ux sexprimant linéairement en fonction de U0, U4, UB aura les mêmes points singuliers x = o, # = i , x = u0. Revenons maintenant aux différences to, et o>2, elles n'admettront pas u0 comme point singulier; elles ne dépendent pas, en effet, de u0, puisqu'on peut écrire
oil = 1 y(u)du,
do
w2 = ! y(u) du,
=jf ¥(B
*es intégrales étant prises, suivant la détermination que l'on considère, le long d'un chemin ou d'un autre allant respectivement de o à x et de i à x : elles se trouvent, par suite, définies indépendamment de u0. Il n'y a donc pas de troisième point singulier à distance finie.
Les fonctions to, et oj2 de la variable x sont des fonctions holomorphes de x dans le voisinage de tout point, sauf pour x = o, x === 1 et x = 00.
Il en résulte que oii et co2 désignant un système de déterminations de ces fonctions en un point arbitraire x, on obtiendra tous les autres en effectuant sur tu, et m2 les substitutions
sfsfsfs
les a et j3 étant des entiers positifs ou négatifs (voir t. 1, p. 568, pour les définitions relatives aux substitutions).
20. Parmi les différences d'intégrales du type de celles que nous venons de considérer, il en est une conduisant à un développement en série très remarquable; c'est la différence U„ — U, ou
f—\ ua (u — i)h(u — xj^du.
Supposons que l'on intègre de i à oo, en suivant la partie positive de l'axe réel et que | x | < i .
Posons, pour avoir les notations de Gauss,
Les inégalités, supposées remplies pour que l'intégrale ait un sens, sont y > (3, [S > o.
Nous allons développer l'intégrale f en série; on peut écrire
f=f i«-T(û — i)T-M(i— -V*rfa; or, puisque | u J > i et | x | < i , on a
x -* / ïia + ii... a + p-i) j?/'
U i .1. . ./> UP
f se trouve donc développé en snir entière, et !<• terme gén
ri' f m -Y />(u — i)Y P I du.
esl
I t -+- l) . . .(a -4-yo — i)
Partons de l'identité
= (Y -+-/> — i)u-y-P(u — i)y-P-i +(/?p + i)M-y-/>-Hi(M i)Y-P-i. ce qui donne, en intégrant,
. I U-y-P( U — I)Y~P-1 du = f + /? ~ * r rï-/H-I(K,)H-irf«,
et enfin
M-Y-P(M — i)Y-Mrfw
= PPH-.- p^-Q ru-y(u-.î)y^du.
On en conclut que /, abstraction faite du facteur constant
f u-V(u — i)y-P~idu, se réduit à la série
I+L^+, , «(« + !)-. ■(«+/?-!) P(P-+-I)-..(Ph-/>-!)3;/| t
i-Y 1.2.../? T(T-hi)... (Y+/> — i)
Cette série remarquable est connue sous le nom de série hypergéométrique. Si on la considère, a priori, on peut donner aux constantes a, fi, y des valeurs quelconques, exception faite seulement d'un entier négatif pour y. Le cercle de convergence de la série est le cercle de rayon un.
