Examinons en particulier le cas où

La signification de co, et w2 est alors remarquable ; ce sont deux demi-périodes distinctes de l'intégrale elliptique

du

\Ju{u — i) (u X )

Nous considérons ici ces périodes comme fonctions de x. Les

substitutions S, et S2 du paragraphe 18 sont alor->

| tot= (!>!-+- 2(02,

On aura donc toutes les déterminations possibles de cj4 et w2 en combinant les substitutions S, et S2 et leurs puissances. Ces déterminations seront de la forme

mwi -+- n o>2,

m, n, p, q désignant des entiers, et l'on aura, comme pour les substitutions composantes,

mq — np = i.

Or nous avons vu (§ 13) que le rapport

x étant différent de zéro et un, ne peut devenir égal à un nombre réel ou, en d'autres termes, que le coefficient de t(î= y- - i) dans ce rapport garde un signe invariable, puisqu'il ne peut pas s'annuler. Ce résultat est relatif aux déterminations de io, et wa entendues telles que nous les avons considérées d'abord au paragraphe 18, c'est-à-dire en supposant que x ne franchisse pas les coupures primitivement tracées dans le plan; mais il subsiste quand on a levé toute restriction, car alors le rapport précédent

a pour valeur

m o>i -+- nuit

et, dans ce rapport, le signe du coefficient de i est le même que

dr"i ans —

En résumé, le rapport

£.ç£ une fonction analytique de X n'ayant d'autre point sin-

gulier que x = o, x = i, et # = oo. Çf/e/ ^we soU /e chemin suivi par la variable, le coefficient de i garde un signe invariable.

Ajoutons encore que v sera une fonction holomorphe de x pour toute valeur distincte des points critiques, car, si v devenait infini,

c'est qu'on aurait

ptox -+- q w2 = o,

et nous savons qu'une telle relation est impossible; pour la même raison, v ne peut s'annuler.

22. On peut se servir de la fonction v(#) pour établir le premier théorème que j'ai donné autrefois sur les fonctions entières ( ' ).

Désignons dune manière générale par G (-s) une fonction entière, c'est-à-dire une fonction holomorphe dans tout le plan. Il peut arriver qu'une telle fonction ne puisse, pour aucune valeur finie de £, prendre une certaine valeur finie a. L'expression ef{z) -+- a, où f(z) est une fonction entière, ne devient jamais égale à a. La circonstance qui se présente à l'égard de a peut-elle se présenter pour une autre grandeur 6? Peut-il, en d'autres termes, arriver que les équations

n'aient pas de racines? Nous allons montrer qu' une fonction entière G(s), qui ne deviendrait jamais égale ni à a, nia baserait nécessairement une constante.

On peut tout d'abord supposer que a = o et b = i ; considérons,

en effet, la fonction — "' - — ; elle ne deviendra, d'après nos hypothèses, jamais égale ni à zéro, ni à l'unité. Nous allons donc raisonner sur une fonction G (s) ne devenant égale ni à zéro ni à un. Posons x = G(.s); la fonction v(x) du paragraphe précédent deviendra une fonction de z que nous allons étudier. A une valeur Xq de x correspondent une infinité de déterminations de v ; choisissons Tune d'elles v0, soit, pour z = z0, x0 = G(s0) : la déter-

(') Mémoire sur tes /onctions entières (Annales de l'École Normale, 1880).

mination de la fonction

est alors définie pour z = z0. Supposons que ^ décrive un chemin quelconque G partant de z0 et y revenant, x décrit alors dans son plan une courbe fermée partant de x0 et revenant à ce point. Pour le cas où cette courbe se couperait elle-même, désignons par ( I le contour extérieur de l'aire qu'elle limite. La courbe C ne comprend à son intérieur ni le point zéro ni le point un. Déformons en effet la courbe C sans cesser de la faire passer en z0 ; nous pouvons la réduire àte point. 11 est clair que, par ces déformations continues de C, nous réduirons C' au point jc0 sans qu'elle traverse jamais aucun des points o et i , puisque, par hypothèse, • ■ z ) ne prend jamais ces valeurs. Il résulte de là que La fonction v[G( c)J reprendra en z0 sa valeur initiale v0 quand z reviendra en z0 après avoir décrit la courbe G. De là se conclut bien aisément que cette fonction est une fonction uniforme de z dans tout le plan. Considérons, en effet, deux chemins z0az,, z0l>zt allant de z0 à un point quelconque 3, du plan. Soitv, la valeur qu'acquiert v quand on suit le chemin z0az{ ; en continuant suivant ztbz0, on ramène la valeur initiale V0. Si maintenant on rétrograde suivant z0bzi, la fonction repassera par la même valeur en chaque point et, par conséquent, elle acquerra en c, la valeur v0 obtenue précédemment. Nous arrivons donc à la conclusion que la fonction

est une fonction uniforme dans tout !<• plan; comme elle reste d'ailleurs toujours finie, c'est une jonction entière.

C'est ici qu'une impossibilité va apparaître. On se rappelle que dans v !<• coefficient de t'a un signe invariable; nous pouvons le supposer positif, puisque autrement on raisonnerait sur v. Nous avons donc une fonction entière/*! s) dans laquelle !»■ coefficient de i est positif. .!<■ «lis que f{z) ne peut être qu'une constante. Envisageons, en effet, La fonction

i une fonction entière dont le module est g \ si Ton i \ \ i\\ m;ns, |»iiis(|ii«' ^ > o, le module de < ' sera toujours moindre que un. Il en résulte, d'après !<• théorème de

Liouville que elf{z) et, par suite, f(z) doivent se réduire à des constantes. Notre fonction v[G(s)] se réduisant à une constante, G(^) devra elle-même être constante, puisque v(#) est une véritable fonction de x. Le théorème est donc démontré.

23. Au lieu d'une fonction entière, considérons maintenant une fonction uniforme f(z) n'ayant dans toute l'étendue du plan que des pôles. Je dis qu'il ne peut y avoir plus de deux valeurs finies a et b que ne puisse prendre une telle fonction pour une valeur finie de la variable.

En effet, s'il y en avait trois distinctes, on pourrait déterminer les constantes a, 8, y, ô, de façon que

ne prenne aucune des valeurs o, i , oo ; g(z) n'aurait pas de pôles et n'aurait comme f(z) qu'un point singulier essentiel à l'infini. Ce serait une fonction entière ayant deux valeurs exceptionnelles o et i. D'après le n° 22 ce serait une constante et il en serait de même def(z).

Comme corollaire remarquons que si pour une fonction entière G(z) il existe deux équations G(z) — a = o, G(z) — b = o n'ayant qu'un nombre limité de racines, G(z) admettra autour du point à l'infini les trois valeurs exceptionnelles a, 6, oo; ce point à l'infini ne pourra être singulier essentiel pour G(.z); ce sera un pôle et par conséquent G (-s) sera un polynôme.

24. Nous donnerons une deuxième application de l'étude de v(#) faite au n° 21 en généralisant un critérium de convergence des suites de fonctions donné au n° 47 du Chapitre V d'après MM. Vitali et Porter.

Nous avons vu (n° 48, Chap. V) : i° qu'une suite de fonctions S4 (s), S2(s), • • • , S« (s), . . . , holomorphes dans une aire A était une suite normale si elle était bornée', 20 (n° 49) qu'elle avait une limite si limS^(^) existait pour une infinité de points a,,

a2, . . . , a*, . . . , ayant au moins un point-limite l dans Taire A. La condition i° d'être bornée peut être remplacée par cette autre : les Sn(z) ne deviennent jamais égales à A ou B nombres fixes

distincts sans que lune ou l'autre des conclusions i° ou 2° soit modifiée. 11 est clair qu'en considérant au besoinles Tn(-s)= — j~ — r-

on peut supposer A = o, B = i sans restreindre la généralité.

Nous démontrerons par exemple que la deuxième conclusion est encore vraie avec la nouvelle hypothèse. Le lecteur verra qu'avec peu de modifications la première se démontre de même.

Soit un des points a pour lequel Iim S„ (a) existe et égale [5. Sup-

n = ao

posons d'abord |3 yé. o et je. i . Considérons une des déterminations de v( 3) ; pour n assez grand S„ (a) est très voisin de fi; d'ailleurs. pour z assez voisin de a, Sn(z) est très voisin de S„(a). Donc v[S„(c)] a un sens parfaitement déterminé au voisinage de a. En raisonnant comme au n° 2î2 on verra quev[Sn(z)] est holomorphe dans l'aire A ('), où Sn(z) est holomorphe, ^ o et ^ i . Envisageons

Gn(z)= vtS»^)i~ )SH [7(fj= valeur conjuguée de v(P)"|-

Il est clair que le coefficient de /dans v [Sn (z)] étant toujours > o et ^ o, on aura

| Gn ( z )] < i srms égalité possible.

I) ailleurs pour a = a,- l'existence de limS„(?f) entraîne celle

de G„(a;) pourvu que Iim S„(a/) ^ o et 7^1. Supposons donc qu'il v a une infinité de points a, où liniS,, (a,) ^ o et 7^1; alors, pour ces Bj, liiu(i„i /, / existe et, d'après le théorème de Vitali et

Porter, [imGn(z) rxisic dans toul A, et c'est une fonction holo-

morphe G(z), G(a) s= o.

On va von d'ailleurs (pieu aucun point de \ ou ne peut avoir ( 1 3) | — 1 . Il résulte de là que V | S„ (3 | 1 a pour limite une fonction holomorphe vl z | don! la partie imaginaire est positive et jamais nulle.

(') \ il fauilr.i diviser \ en un nombre Iim >!<• oaorceaui simplement

connexes, iu cas où A ne !«* sérail pas, et ne raisonner que sur «l<s ,nrcs ->nnpleiii'-nt on vexes, fa com lusion démontrée pour ces aii---> s'étend d'ailleurs aussitôt ,m\ lires multiplement connexi

Admettons que si Von pose Z = v(a?), il en résulte que x = A(Z), à(Z) étant une fonction holornorphe ^é o, ^ i da/is ^ou/ /<? demi-plan Z situé au-dessus de Caxe des quantités réelles. [Ceci sera démontré au Tome III de cet Ouvrage, 2e édition, Chapitres XTI et XIII et spécialement Sections III et IV].

On conclut de là que Sn(z) aura une limite qui sera Mï(*)]' holornorphe dans A. Le théorème sera démontré.

Mais il faut prouver que l'on ne peut avoir | G(^0)| = i en un point z0 de A. En effet, si l'on avait G(z0) = eltù comme l'on a | Gn(z) | <Z l dans A, aucune des Gn (z) ne peut devenir égale à etl* dans Aet par suite, d'après la remarque faite au n°51 du Chapitre V, il faudrait que G (z) fût identiquement égal à la constante elhi dans tout A. Or cela n'est manifestement pas exact en a puisque G(a)= o. Donc on a bien | G(z0)| < l sans égalité possible dans tout A.

Reste à voir ce qui arriverait si en tous les a/, sauf un nombre fini d'entre eux, limSrt(a;) était égale à o ou à i . Si par exemple en

une infinité d'entre eux lim Sn(a/) = o ; en particulier si

n = oc

P = lim Sn(a) =a o,

n = oo

on considérera les gn\Z) — — • Dans gn'0L) = :

le radical aura une détermination prise arbitrairement et y/Sn(^)se trouvera alors bien déterminé dans tout A puisque Sn ne s'annule pas; les gn(z) sont holomorphes dans A, ils sont '^é o et ^é i dans A, car gn(z0) = o donne Sn(z0) = î et gn(zt) — i donne aussi S,,^) = i, ce qui est impossible. De plus, lim^*,, (oct-)= -j

n — oo 2

donc le raisonnement antérieur s'applique aux gn(z)', gn(z) a une limite holornorphe pour n = oo et il en sera de même de Sn(z). Si l'on avait limS«(af) = i on étudierait les i — Sn(z) =z<j/t(z)

et l'on serait ramené au cas précédent.

25. Avec fort peu de modifications on verra qu'une suite de fonctions holomorphes dans une aire A ou elles admettent deux valeurs exceptionnelles au moins , est une suite normale [a est dite valeur exceptionnelle de la suite Sn(z) si aucune des fonctions Sn(z) ne prend la valeur a dans A].

Remarquons encore que si la suite des S„ admet les valeurs exceptionnelles o et i dans A el si, en un point a de l'aire A, les valeurs Sw(a) diffèrent peu d'un nombre fi ^ o et ^ i

(3„= S„(a) = $-htn \[en\ <e],

on peut, en considérant les Gn(z) = vt *\z'i ~ ' ?n) [v((3„) étant

la détermination voisine de v((3)], raisonner de la façon suivante : ( i„i , a) = o et les | Gn(z) | étant < i dans A sans égalité possible, on peut extraire une suite G^(<z), G,/a(^), . . ., Gq^z) qui converge dans A vers une fonction holomorphe dont le module sera < i sans égalité possible. 11 en résulte en raisonnant comme précédemment sur la fonction a(Z), inverse de Z = v(#) que la suite Sgt(z), S- (s), ..., S(/n(z) convergera dans A vers une fonction holomorphe et par suite dans toute aire A' intérieure à A les modules des | S^ | seront bornés.

26. Soit maintenant F (z) une fonction admettant un point singulier essentiel isolé qu'on peut supposer à l'origine. On va montrer que l'équation F(z)=a a une infinité de racines autour de o sauf peut-être pour deux valeurs de a au plus, (finies ou infinies ). Ces valeurs sont dites exceptionnelles.

Par exemple e z admet autour de o les deux valeurs exceptionnelles o et oc; poursin- il n'y aura que ce. Les fonctions elliptiques étudiées plus loin n'ont pas de valeur exceptionnelle.

Supposons qu'il v ait trois valeurs exceptionnelles a, Ik c. En

substituant la fonction G(z) = ~^- ■ r~A à F(z) on peut supposer que ces valeurs sontO, l, oc [F(z) n'aura donc pas de |»ôles au voisinage «le o : valeur exceptionnelle ool.

Soit p un nombre fixe quelconque. D'après le théorème de Weierstrass (n° Kl. Chap. \ >, on peut trouver une suite infinie de

points r„. 3, Zn tendant vers o et tels que | ( g, $ f- £/,

les --, tendant vers zéro avec -, [|e/[<e] ( '). Traçons un cercle T

(») on peut supposer | zt | > I *, | > | z% I ...,. zn I >.

de centre O, de rayon R passant par z0 et des cercles de centre O rayon — et 2 ri que nous < Considérons les fonctions

de rayon — et 2Rque nous appellerons V et T".

une telle fonction est holomorphe dans la couronne {V T); les valeurs qu'elle y prend sont celles que prend F(^) quand z décrit la couronne (X'n T"n) de centre O, dont les cercles limites ont pour

rayons — • — et 2R. — » dont le cercle moyen Tn passe par z„.

1 Zq Zq

La couronne F' T., tend vers o avec — •

La suite des on(z) holomorphes dans la couronne (FT), y admet donc les valeurs exceptionnelles o et 1, qui sont exceptionnelles pour F (z) au voisinage de o.

De plus

<p/i(*o) = F(^*oj =F(zn) = p -+-£« avec | 'e„""| < e.

D'après le paragraphe précédent on pourra extraire des ®n(z) une suite pareille f^(^), vq%(z), ■ • -j tVW' •••> convergeant dans la couronne (r' Y") uniformément vers une fonction holomorphe <I> (z) qui pourra être une constante finie. En particulier, sur le cercle moyen T de la couronne, les |^7„(^)| resteront inférieurs à un nombre fixe M. Les valeurs que prend cp (^} sur le cercle T sont celles que prend F (z) sur le cercle I\

de centre O de rayon R • — • Ces valeurs sont inférieures

en valeur absolue à M. On a donc trouvé une suite de

cercles F, , T„ , . . ., I\, , tendant vers zéro avec - » et sur les-

quels | F(z) | << M. Entre deux de ces cercles F(s) étant holomorphe restera aussi <M en valeur absolue. |F(z)| devrait donc être << M en tout point voisin du point essentiel o : ceci contredit le théorème de Weierstrass et par conséquent le théorème énoncé est démontré.

La démonstration qui précède est due à M. Montel [Annales de C Ecole Normale supérieure, 1912]. La première démonstra-

lion connue (* ) du théorème précédent sera donnée dans le Tome III (Chap/XIII, Sect. IV) du présent Ouvrage.

La considération d'une suite de couronnes entourant O, parallèle à une suite de fonctions telle que la suite on précédente, formée à l'aide de F (s), a conduit M. Julia à apporter des précisions nouvelles dans l'énoncé du théorème précédent. Voici l'un de ces nouveaux énoncés.

Pour une fonction entière quelconque G(^) et pur un point

arbitraire O du plan il existe une droite D au moins telle que

dans tout angle de sommet O contenant D, si petit soit-il, la

Jonction G(z) prenne une infinité de fois toute valeur finie , sauf

peut-être une seule.

On peut remplacer la droite D par une courbe semblable à une courbe arbitraire donnée a priori et allant à l'infini, pourvu que cette courbe semblable soit convenablement orientée, et à condition de définir convenablement l'angle curviligne arbitrairement petit contenant cette courbe.

Nous n'insisterons pas sur ces nouveaux énoncés, renvoyant pour leur étude aux mémoires de l'auteur : Sur quelques propriétés nouvelles des fonctions entières ou méromorphes [Annales de VÊcole S or maie supérieure^ 1919, 1920, 1921).

(') E. Picard, Sur les fonctions analytiques uniformes dans le voisinage d'un point singulier essentiel {Comptes tendus, t. 89, 187g) et Annales de l'École Xormale, ivv