I. — Généralités sur les fonctions de plusieurs variables

complexes.

1 . Nous avons, j usqu'ici, considéré seulement des fonctions analytiques d'une variable complexe; on peut de même envisager des fonctions de plusieurs variables complexes. Il s'en faut de beaucoup que la théorie des fonctions de plusieurs variables soit aussi avancée que celle d'une variable. Dans les généralités qui vont suivre, la plupart des résultats seront applicables à un nombre quelconque de variables, du moins avec des modifications insignifiantes : nous simplifierons l'écriture et l'exposition en nous bornant à deux.

2. Soity "(m, t>) une fonction analytique des deux variables complexes a et ç. Posons

u = x -+- iy, v = z -+- it ;

on a, par définition,

f(u, p) = PO, y, z, t) -+- i Q(x. y, z, *), P et Q étant des fonctions réelles des quatre variables réelles #, y,

£, t. On aura manifestement entre P et Q les quatre relations

l dp

] dx~ ~~

1 àl ~

àz'

Cherchons à quelles équations satisfera la fonction P. En groupant de toutes les manières possibles ces équations deux à deux, on obtient par deux differen dation s convenables une relation à laquelle satisfait P. Les deux premières donnent

àx* ày* la première et la troisième,

puis ensuite

âx ôt àz dy

à:r àz

à*V àydt

()y àz

,PV

àz*

àt*

âtày

àz àx

àtàx

On voit que ces six équations se réduisenl à quatre. La fonction V .i , y, s, / ) satisfait donc aux quatre équations

<rv à*V à*\> à*\

ôfà~y '-

àz2

àx* ày* àxàt âzày

àz àt ày Oz* >>/■'■

Réciproquement, d'ailleurs, si l'on .i une fonction I* satisfaisant quatn équations, ou pourra trouver une fonction Q(x, \ . s, / i

• H D il.

vérifiant les équations (E), puisque les conditions trouvées expriment précisément les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'on puisse obtenir une telle fonction Q (#, y, z, t).

On voit de suite la différence profonde qui doit séparer la théorie des fonctions de deux variables de celle d'une variable. Dans celle-ci, la partie réelle P doit satisfaire à l'unique équation de Laplace; dans celle-là, au contraire, nous trouvons quatre équations pour cette seule partie réelle P. Il ne semble guère possible d'étudier ce système de quatre équations comme on a étudié l'équation de Laplace; aussi devrons-nous ici considérer la fonction P-f-z'Q dans son ensemble sans étudier séparément P et Q.

3. La série de Taylor s'étend immédiatement aux cas de deux variables. Soit une fonction analytique f{x, y) dès deux variables complexes x et y\ cette fonction est supposée uniforme et continue quand le point x est à l'intérieur d'un cercle C ayant x0 pour centre et r pour rayon, et le point y dans un cercle G' de centre y0 et de rayon r' .

Nous n'avons qu'à répéter la démonstration faite pour le cas

des variables réelles. Supposons que les points x0-\-h ety0-\-k

soient à l'intérieur des deux cercles que nous venons de définir;

on pose

x = xQ-+- ht, y ■== y0-h kt.

f(x, y) peut être regardée comme une fonction de la variable complexe t, uniforme et continue à l'intérieur du cercle ayant l'origine pour centre et l'unité pour rayon, puisque, quand t reste dans cette région, le point (x, y) reste à l'intérieur des cercles G et G'. On doit même remarquer que la fonction de t, que représente j (x, y), sera uniforme et continue dans un cercle de rayon supérieur à i ; nous pourrons donc faire, sans incertitude, t == i, dans le développement que nous allons obtenir. Ge développement n'est autre chose que le développement de Taylor, pour la fonction de t

f(x0+ht, y*+kt);

on a donc

* àf , à/Y

f(x0-hht,y + kt)=2i

dx dy

J"o,.Vo

où, comme on sait, l'expression ( h-y--\- h --) est symbolique,

les puissances devant être remplacées par les dérivées. On a alors pour t = 1

f(x0-hh,y0-hk) = ^

entièrement analogue, comme forme, ce qui a été vu dans la théorie élémentaire des fonctions de deux variables réelles.

i. Dans le développement précédent, le coefficient de 1iP kl est

dnf