q \dxP dyi ) r9,yo

Il est très intéressant d'avoir une limite supérieure du module de ee coefficient. Cette limite peut être obtenue en fonction du module maximum M de la fonction f (#, y) à l'intérieur des cercles G et G'.

Considérons d'abord la fonction f (#, y) comme fonction de la seule variable x, nous aurons, d'après une formule établie antérieurement (Chap. \ , n° 8),

Prenons maintenant la dérivée gr'èn,e des deux membres par rapport à y et faisons-^ ='^V Nous devons différentiel* q fois sous le signe d'intégration par rapport à r; <>r, en appliquant la même formule, <>u ;■

Il \ lent donc finalement

(pl£\ = «.*...^;i.».;.y Ç ft*f{„,+ r*i%y.+ r'e*')e-*<e-*td%d*

De cette formule se tire de suite la limite cherchée : en remplaçant par M le coefficient de <VfJ cfà1 sous le signe d'intégration,

on a une limite de module et, par conséquent,

<jp+q f ! \ .1. . .p. 1.2. . .g

dxi> ày<? \x=Xo

rP r'v

5. Si les cercles C et G' ont pour centres l'origine, on a, en faisant Xq = yo = o et h = x, k = y, le développement de Maclaurin

Le coefficient A^ q de xp yv est, d'après ce que nous avons dit plus haut,