p . 1 , a . . . q \ duP dv<i J li

On aura donc V inégalité très importante

De là nous concluons une propriété essentielle du développement ( 1 ); la série, formée avec les modules des termes de la série

^kp^xpyi,

est convergente, quand x et y sont respectivement à l'intérieur des cercles C et C. On le voit de suite, puisque, en remplaçant \-^Pt9 I Par sa 1 i ithl i t e supérieure, on a

îR>

et cette série est convergente quand

La fonction représentée par la série (2) s'obtient d'ailleurs immédiatement sous forme finie; ce n'est autre chose que

comme le montrent les développements de et et l'ap-

plication de la règle de multiplication des séries.

Nous ferons plus tard grand usage de la fonction G(x, y). D'après la manière même dont elle a été obtenue, on peut dire que ses dérivées partielles, toutes positives pour # — o,j'=o, sont, pour ces valeurs des variables, supérieures aux modules de la dérivée correspondante de/(#, y) : on a les inégalités

dP+vG

ôxp dy?

On peut trouver bien d'autres fonctions jouissant de la même propriété que G (#, y). Citons la suivante dont nous aurons aussi à faire usage

Le coefficient de xp y<J , dans le développement de cette fonction, étant