p. 1 .2 . . .q rP r'i
se trouve supérieur à la limite trouvée , pour les modules des
coefficients/^, y).
6. Noua nous sommes borné au cas de deux variables : tous «aïeuls s'étendent à un nombre quelconque de variables. Pour une fonction
uniforme et continue à l'intérieur des cercles Cu Ca C„ de
(entre () et de rayons rf, r2, . .., /•„. on a le développement
f=^AP*P*- !?.*?«*{• ---«{"j
et l'inégalité
I ^ptpy.pn I < ,, ,, -S-
conduil à des conséquences analogues à celles que nous avons obtenues pour le cas de deux variables.
II. — Décomposition en facteurs dune fonction de plusieurs variables. Fonctions implicites.
7. La décomposition en facteurs d'une fonction d'une variable, qui permet de mettre en évidence les racines de cette fonction, n'est pas susceptible de s'étendre sous la même forme à une fonction de deux ou plusieurs variables. Ici, en effet, l'ensemble des valeurs des variables qui annulent la fonction forme une suite continue. On peut cependant, dans une certaine mesure, réaliser une décomposition qui mette en évidence la partie d'une fonction susceptible de s'annuler dans le voisinage d'un système déterminé de valeurs des variables.
Avant d'aborder ce point, commençons par montrer comment le théorème de Cauchy, démontré (Chap. VI, n°21) pour les polynômes, est susceptible de s'étendre à une fonction holomorphe quelconque. Nous nous bornons toujours, uniquement pour abréger, à une fonction de deux variables.
Soit donc une fonction F(#, y) holomorphe dans le voisinage de x = o, y = o, c'est-à-dire dans les cercles de rayons p0 et R. On suppose que F (#, y) s'annule pour x =. o, y = o et que F(o,y) ne soit pas identiquement nul.
Ecrivons F (#, y) sous la forme
¥(x,y) = A04- AtjK-H...-+- A„^»-f-...,
les A étant des fonctions holomorphes de x dans le voisinage de x = o.
En désignant par M le module maximum de/(,r, y), on a
!A«l<ivr
On suppose que
A0(o) = Ai (o) —...== iVn-i(o) = o et Ara(o)^o. Nous voulons chercher le nombre des racines de l'équation enj'T
voisines de £éro, pour x suffisamment voisin de zéro.
Ecrivons
en posant
A0 Ai A,,-!
An/" A«7'l 1 &ny
A/1-1-1 Aa)2
Soit B le module minimum de A/0 # restant à l'intérieur d'un certain cercle dans lequel An ne s'annule pas et que nous supposerons être le cercle de rayon o0. On aura, en désignant par r le module de y,
modQ< bIr^ + r^ +-■■;= bi^r — '
1 K Si donc on prend r assez petit, on aura
mod Q < - »
lorsque le point (#, )) est quelconque à l'intérieur des cercles de on pfl pour if, et de rayon /• pour j'.
On aura, d'autre part, pour P, quand y reste sur le cercle de rayon /', en appelant A le module maximum de A0, A,, . . . , A„,,
mod P < — H — r -+-. . .H-
l; \ rn r"~l r
et comme A0. A,,..., An, s'annulent pour x = o, on aura, si l'on prend pour- domaine de x un cercle d'un payon p<TPo assez petit. \ aussi petil qu'on voudra. Prenons passez petit pour que
f I l iN
alors on aura
mod P < - 1
estant dans le cercle de rayon p et y sur ht circonférence de
layon r.
Il esl facile maintenant d'avoii le nombre des racines de l'équation <!
{x ayant une valeur fixe dans le cercle de rayon p) contenues dans le cercle de rayon r. 11 suffit d'étudier la variation de l'argument de F(x, y) quand y décrit la circonférence de rayon r; or le module de P-j-Q étant inférieur à un, l'argument de
reprend la même valeur. La variation de l'argument sera donc 2 mt i et, par suite, le nombre des racines sera égal à n.
8. Cherchons quelle forme on peut donner à la fonction F(x,y). A cet effet, x ayant une valeur fixe dans le cercle de rayon p, effectuons, sur le cercle de rayon r dans le plan des y, l'intégrale
ày F
1 iiz
jdr>
loppant ; suivant les puissances entières de y ' , on voit immé-
y' désignant un point quelconque à l'intérieur de (/*). En développant ; suivant les puissances entières
diatement que cette intégrale est de la forme
les G étant des fonctions holomorphes de x. D'autre part, en désignant par
ru >"2, ...., y a
les n racines de F(x,y) = o, contenues dans le cercle de rayon r, cette intégrale est aussi égale à la somme des résidus de la fonction sous le signe d'intégration, relatifs aux pôles y{, y2l • . . , yn et y' ',
c'est-à-dire à
dF\
ày | 1 1
-pr- / H 7-H....H r
t /y=y yi — y yn — y
On a donc, en remplaçant 7-' par j^, et posant
f(y ) = (y —yi) (y —72 ) . . • (y — yn),
DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. *8l
l'identité
àF <W df
'yG'P=àl i ; r; =JL Jl
jL p7 F y -y, y-yn F /
OU
àF dj
ii ()y dy
II (x, y) étant une fonction hblomorphe de x et y, lorsque ces points sont respectivement à l'intérieur des cercles de rayon p el r.
D'ailleurs / ( y) est un polynôme en r.
7fl+fli/'1 J-^. • .+ fl»-i/ + «)i]
dont les coefficients sont des fonctions holomorphes de x. Pour !<■ voir, effectuons encore sur le cercle (r) l'intégrale
dF
(\ «v| UI1c fonction holomorphe de x. qui est identiquement égale à la somme
sidus de la fonction intégrée, c'est-à-dire que les sommes dea puissances semblables de y i,..., yn sonl des fonctions holomorphes de r. et, par suite, enfin les coefficients a.
Nous pouvons don< écrire
Il, (.r. i i étant encore holomorphe. et C une constante par rapport à r. i est-à-dire une fonction d<- x qu'il <si facile de déterminer : i ii faisant y — vn. ^fl étant sur !<■ cercle de rayon r, on aura
11 1 ' ' • r(, • tlf(x,y%) ne s'annulent pas quand test à l'inté rieur du cen le p. Il en résulte que noua pouvons écrire
K(x,y) étant une fonction holomorphe qui ne s'annule pas quand x et y sont à V intérieur des cercles p et r; de plus, j {x, y) est un polynôme en y dont le premier coefficient est V unité et dont les autres coefficients sont des fonctions holomor plies en x (4 ).
On voit que cette décomposition met, en quelque sorte, en évidence la partie de la fonction F(x, y) qui s'annule dans le voisinage de x = o, y = o.
9. Une conséquence très importante peut se déduire du théorème précédent, relativement à l'existence des fonctions implicites. Considérons l'équation
F (x, y) étant holomorphe dans le voisinage de x = o, y = o. Je suppose que ( v- ) ne soit pas nulle, c'est-à-dire que le nombre n
du paragraphe précédent soit égal à un. On aura donc
fO,.T) = [y-+-al(x)]K(x, y),
aK étant holomorphe en x et s'annulant pour x = o. L'ensemble des valeurs de x et y voisines de zéro et satisfaisant à l'équation
doit nécessairement vérifier la relation
y-^ax(x) = o,
puisque K (x, y) ne s'annule pas dans le voisinage de x = o, y = o.
L'existence de la fonction implicite y de x est ainsi démontrée. Sous la condition indiquée, l'équation F = o définit une fonction holomorphe de x dans le voisinage de x = o.
(') Ce théorème a été, depuis 1860, enseigné par M. Weierstrass dans ses Leçons de l'Université de Berlin. Voir Abhandlungen aus der Functionenlehre von K. Weierstrass (Berlin, 1886). La démonstration qu'on vient de lire est due à M. Simart.
Soit, en particulier, l'équation
G (y) étant holomorphe dans le voisinage de y = o et s' annulant pour cette valeur. Si G' (0)^0, l'équation précédente définira une fonction y de x holomorphe dans le voisinage de l'origine. 11 est facile d'étudier le cas où l'on aurait
G'(o) = G"(o) =...= G/'-'Co) = 0,
G** (o) n'étant pas nul. On a, en effet,
X=zyP(k+ By +...), (A^ o),
et, par suite, en posant \fx ■=. x\
x = y (/A + Bj+....
Or, la fonction sous le radical ne s'annulant pas pour y = o, la détermination choisie pour le radical sera holomorphe dans le voisinage de l'origine et l'on se trouvera ramené au cas précédent; par suite, y se mettra sous la forme d'une série ordonnée suivant
puissances de x\ c'est-à-dire de \Jx. La fonction y a donc p déterminations qui se permutent autour de l'origine.
10. L'analyse qui vient d'être développée s'étend d'elle-même à un nom lire quelconque de variables indépendantes. Soit une fonction
Y (y. ./-,. pt, ..., xn)
des n -+- 1 variables indépendantes 1. xt, ^vi r"- s annulant pour y = xt = . . . = xn = o. Si, pour ./•, = x2 = • « • = xn = o, l< développemenl de
commence par un terme eu w. on pourra écrire
I.i fonction holomorphe K ne s annulant pas dans !<• voisinage <!<■ v=.r, = ... =,r„ = (i ci les a étant des fonctions holomorphes
11. De ce résultat nous pouvons conclure l'existence et la nature des fonctions implicites définies par le système d'équations
IFi(a?tï x2, ..., xn,yuy>, ...,yp) = o, F2O1, x2, . .., xn, yu yti .--i.Yp) = o, Fp(xl, x^ ..., xn, yu y2, ...,yf>) = o. Nous supposons que les fonctions F s'annulent pour
xy = x2 = . . . = xn = yx = . . . = yp = o et que pour ces valeurs le déterminant fonctionnel
