D(F„ F„ ...,FP

/ie soû /?&s /m/. Dans ces conditions, nous allons montrer que ces équations définissent, pour y{, y2, ..., yp, des fonctions holomorphes dans le voisinage de x{ — x2 == ... = xn= -o.

Pour l'établir, supposons la proposition démontrée, n étant quelconque, jusqu'à un nombre p — 1 d'équations. Nous allons montrer comment on peut passer de p — 1 à p. Remarquons d'abord que les dérivées partielles du premier ordre

à¥x àFt àFj

ày\ ày2 ' ôyp

ne s'annulent pas toutes quand les x et les y sont simultanément nuls. Soit, par exemple, la dernière de ces dérivées différentes de zéro; nous pouvons écrire

F1O1, a?,, ..., xH;yi,y*, ..-, yP) = (yp-ha^K,

a, étant holomorphe en xK, x2l . . ., xp, JK«, J'o, • • ■*» Xp-i et K n'étant pas susceptible de s'annuler quand les x et les y sont suffisamment petits. Nous pouvons donc remplacer la première équation par

yp-lra\=ï O,

et, par suite, en remplaçant^ par — a<, dans les équations suivantes, nous sommes ramené au cas de p — 1 équations. Il est facile de voir que le déterminant, correspondant à ces p — 1 équa-

tions, ne sera pas nul; nous avons d'abord, en effet, le déterminant

âai

àyi

dyp ,

ày\

àFt

ày*

àF, typ-\

àFt

àyp

àFp

ày\

dFp ày*

dFp typ-t

dFp

àyp

différent de zéro quand les x et les y sont nuls. D'autre part, le déterminant fonctionnel de

pi

considérées comme fonctions de j, , y2, .-.,,»-«, quand on a remplacé^ par — a,, n'est autre chose que

âF2 àyi

àF.2 àa\ àyP àyt

ôFp

àFp ôax

àF,

ôFi àax

dY\ àyp ày\

àyp i àyp àyp-x

àFp àFp ôax

àyp-t " àyp àyp-x

et ce déterminant est au signe prés identique au précédent, comme le montre l'application des théorèmes les plus élémentaires sur Les déterminants.

Le théorème relatif à l existence et à la nature des fonctions implicites est donc complètement établi. Sous la condition indiquée relative au déterminant fonctionnel, les équations (4) définissent pour y{, y2, . . ., yp des fonctions holomorphcs dans le voisinage de xt = x2 = . . . ~=-xn = o.

Il . II ne sera |>.i> ^.m> intérêt de montrer que L'existence d fonctions implicites peut être établie, en se servant de méthodes 'I approximations successives >i fécondes dans La théorie des équations différentielles. En nous bornanl à une seule équation, suivons pour cet <>l>j<'i L'exposition de M, < roursat ( Bulletin de la S • mathématique, 1903). Nous établirons d'abord mi résultai préliminaii

Soi y\ une fonction continue des deux variables réelles

x et y dans le voisinage de (#0, jKo)? c'est-à-dire dans le domaine (x0 — a, x0-\-a), (j0 — b, y0 -h 6). De plus

/Oo, Jo) =0,

et enfin la fonction y satisfait dans le domaine à la condition de

Lipschitz

\f(oo,y)-f(x,y)\<k\y-y\)

où nous supposons \ k | < i .

Ceci posé, on considère l'équation

On veut montrer qu't7 y a une racine et une seule de cette équation en y, qui, pour x — x0, prend la valeur y0.

Supposons, pour simplifier l'écriture, x0 z=z y0 = o. Nous avons l'équation

* bis) y =/(•£, y).

On part de zéro, et l'on forme la suite des approximations/,, ...,yn au moyen des relations

yn=f(x,yn-i).

Or Donc

\f(x,y)<\yi i + *!jl-

Comme/) s'annule pour x = o, on peut prendre

tel que

Si donc |jk! <C ^? on aura, # étant compris entre — a et -\-a', \f(x,y)\<b(i-k) + bk = b.

Donc, dans ces conditions, tous les y seront compris entre — b et -+- b. On voit alors facilement que ytl converge unifor-

mémenl vers une limite. On a en eftet

\yn—yn-\ <k\yn 1— Xn-i\-

La série

converge donc comme une progression géométrique décroissante; la fonction >0 converge uniformément vers la limite y, et de l'égalité

yn = f(or, yn-x) il résulte que y satisfait à l'équation

L'existence dune racine de cette équation est donc établie.

Il n'y a pas d'autre racine de l'équation (ibis) s'annulaut pour x — o. Soit en effet \ une racine s'annulant pour x = o, on aurait

\=fyx, Y).

En rapprochant cette relation de

ou aura

Donc, de proche en pioche,

et, puisque l'A* | i, il <vst manifeste que Y coïncide avec v.

h. De <e lemme on passe de suit.' au théorème classique. Soit I équation

- bit) l <*y) = o,

tant continue el ayant une dérivée partielle — > autour de la J l <>y

position (x0,y0) pour Laquelle on a

— ) =//?, mettons l'équation (a611) sous la forme

y-yo=y-yo- m

Ici la fonction f (x. y) du lemme précédent est

et la dérivée -j- s'annule pour (#0, y0)', elle est donc inférieure a

un en valeur absolue. Le lemme est donc applicable, et l'existence de la fonction y dé finie par (2bis) est établie.

Tout ceci est bien évidemment applicable au cas où F (x,y) est une fonction holomorphe autour de (x0j y0), et, avec peu de modifications, un résultat analogue s'étend à un nombre quelconque d'applications implicites.

III. — Des intégrales multiples de fonctions de plusieurs variables complexes. Extension du théorème de Cauchy, d'après M. Poincaré.

12. Avant d'arriver au sujet qui fera le principal objet de cette Section, il est nécessaire que nous généralisions l'étude faite précédemment (t. I, p. 1 36) des intégrales de surface.

Soient xt} x2, . . ., xm des variables en nombre m; nous considérons l'intégrale double

(!) / / £ A/ * dxt dx1( ,

expression purement symbolique, jusqu'à ce que nous lui ayons donné un sens, et dans laquelle, d'après les définitions qui vont suivre, l'ordre des deux facteurs dxi dx^ n'est pas indifférent; les A représentent des fonctions de #,, œ2\ • . ., xm. Nous convenons

que

A îk == — A^j.

ce qui entraîne A// = o'; les indices i et k prennent toutes les valeurs de 1 à m. L'intégrale (I) n'aura de sens que quand nous aurons fixé dans l'espace à m dimensions (xf, x2, . . ., xm) la surface d'intégration. Concevons, à cet effet, que l'on prenne pour Xi, x>2, . . ., xm des fonctions de deux variables u et p, et soit une certaine aire A dans le plan des deux variables u et v. A l'aire A du plan (&, v) correspond dans l'espace à m dimensions

{xi, x2: . . -, xm) une certaine portion de surface, et l'intégrale (I) étendue à cette portion de surface sera, par définition, l'intégrale double ordinaire

étendue à Taire V. Comme précédemment, nous posons

Dit,-. Xk) àxi dxjç dxi dxk D( u, v) du dv dv 'du

On voit que, à cause de la relation A;*= — A*/, les deux termes qui correspondent aux deux couples ik et ki s'ajoutent. Remarquons encore que, si l'on permute u et e, l'intégrale précédente change de signe; nous pouvons dire alors, conformément à ce qui se passait dans l'espace à trois dimensions, que l'intégrale est prise sur l'autre côté de la surface (voir loc. cit., p. 126).

13. Nous devons nous poser pour l'intégrale (I) une question analogue à celle qui a été étudiée pour les intégrales de surface. A quelles conditions cette intégrale ne dépendra-t-elle que du contour de la surface d'intégration? Pour bien préciser la question, nous pouvons supposer qu'on se donne arbitrairement une aire A dans le plan (u, e) et que les expressions dex^ x2, ..., x,n, en fonction de u et e. dépendent en plus d'un paramètre arbitraire, et cela de telle manière que x{, x2l r,„ aient le long

du contour de A de^ valeurs indépendantes de ce paramètre : dans onditions on veut que la valeur de (I) ne dépende pas

de ce paramètre.

\s;nil d aborder celle question, commençons par supposer que

lésa -«» ieni des fonctions d'ailleurs arbit raires de trois variables \ . \ . /.. soi!

L'intégrale (1) n;i .dors devenir une intégrale de surface dans l'espace ordinaire ;i trois dimensions, et, si l'on conçoit \. ï, Z exprimées en fonction de deux paramètres u et c, ob aura, comme le montre un calcul Immédiat,