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l'I. MU.. — u. 19

290 chapitre IX.

L'intégrale pourra donc s'écrire

c'est sous cette forme que nous avons précédemment écrit les intégrales de surface.

Cette intégrale ne dépendra que du contour de la surface d'intégration, si l'on a

dZ L2^ A'* D(X, Y) J + dX [2jAlk D(Y,Z)J

Développons cette relation. Les termes en A/* disparaissent d'eux-mêmes, en vertu de l'identité facile à vérifier

à î>(fi,fti , ^ D(/-,/A.) , d D(//,/Q

dZ D(X, Y) dX D(Y, Z) e)Y D(Z, X) Il reste alors

^JD(X, Y) li-rfAr/, <>Z J ^J D(Y,Z) I Zd àxh àX

V(A fk) f^àkuc dfh

y uç/f, Jk) /y

-L DfZ. X) ^

(Z, X) l ^ <te„ àY

ou, en réunissant tous les termes dans une sommation triple.

(5) y (àkik , àxkh èkhi\ v(fbfk,fh)

âx/i ôxi àx/c ) D(X, Y, Z)

Cette sommation est étendue à toutes les combinaisons trois à trois i, A, h des chiffres i , 2, . . . , m. On remarquera que le terme correspondant à la combinaison i, k, h reste le même, quel que soit l'ordre dans lequel on prenne ces trois lettres.

14. Revenons maintenant à la question posée au début du paragraphe précédent : nous allons de suite trouver des conditions nécessaires. Considérons, en effet, seulement comme variables trois des lettres #, soient 27, Xk, Xh, les autres étant des constantes

arbitraires. Dans l'espace à trois dimensions (#/, x^-, Xh) la condition que nous venons de rappeler doit être remplie; on aura donc

à\i/c dX àoch

àx/c

et cela quelles que soient les valeurs des x. Nous obtenons ainsi autant d'identités nécessaires qu'il y a de combinaisons de /«lettres trois à trois. Il faut montrer maintenant que ces conditions sont suffisantes.

Nous devons concevoir que les x aient été exprimés en fonction de deux paramètres u et v et d'une constante arbitraire £

.r/= fi(ut p, e) (*' = 1, 2, ..., m),

€ variant entre certaines limites, et l'on suppose que les valeurs des x ne dépendent pas de e quand le point (w, v) est sur le contour A dont nous avons parlé plus haut. // faut montrer que l intégrale (1) ne dépend pas de z.

Posons

Notre intégrale va alors devenir une intégrale de surface dans l'espace à trois dimensions (X, "i , Z) et, les conditions (6) étant remplies, l'intégrale le long de toute surface fermée de cet espace sera nulle

Pour b = o, l'intégrale (I) sera étendue à l'aire A du plan des (X, 1 ); pour 1 arbitraire, elle sera étendue à l'aire H, section par

Fig. 28.

le plan Z e du cylindre don! V est la section droite {fig* ,s>- Noua devons établir L'égalité <lc ces deui intégrales, en les supposant, bien entendu, prises dans le même sens, c'est-à-dire pour une même direi lion de normales, soit les 3 positifs.

Or le cylindre et les aires A et B limitent un volume. L'intégrale prise le long de la surface totale de ce volume cylindrique est nulle, puisque les relations (6) sont vérifiées; le résultat que nous avons en vue sera donc établi, si nous montrons que l'intégrale prise sur la surface latérale du cylindre est nulle. Or il en est bien ainsi; en effet, les x ne dépendant pas par hypothèse de s quand le point (w, ç) est sur le contour A, les déterminants fonctionnels

D(a?t, xk) Dp/, x k)

seront nuls sur la surface latérale, et, par suite, l'intégrale relative à cette surface sera égale à zéro. Les conditions trouvées comme nécessaires sont donc suffisantes.

Nous avons, dans tout ce qui précède, supposé implicitement que les A étaient des fonctions bien déterminées et continues des x pour les systèmes de valeurs que nous avions à considérer. En particulier, l'intégrale étendue à une surface que l'on déforme, en laissant ses bords invariables, ne gardera la même valeur que si cette surface, en se déformant, ne rencontre pas des systèmes de valeurs des x pour lesquelles les A deviendraient infinies ou mal déterminées. Tout cela est entièrement analogue à ce que nous avons dit longuement au Tome I pour le cas de trois dimensions ; il est inutile d'insister.

15. Nous pouvons maintenant nous occuper des intégrales multiples de plusieurs variables complexes.

Nous nous limiterons aux cas de deux variables complexes x et y. M. Poincaré a étendu aux intégrales doubles le théorème fondamental de Cauchy (1); c'est ce que nous allons montrer.

Que doit-on entendre par V intégrale double (J) ffF(x,y)dxdy?

Cette expression n'a en elle-même aucun sens, mais il n'y a

(') Poincaré, Sur les résidas des intégrales doubles (Acta mathematica, t. IX).

aucune hésitation à avoir sur la définition à adopter. Posons

x = .r, -+- ix2, y — x-i-\- ix-n

et considérons, comme plus haut, x{, x2, a?3i xk comme fonctions de deux paramètres u et v : soit A une certaine aire dans le plan (m, v). L'intégrale

sera, par définition, la valeur de l'intégrale (J) étendue à la portion de la surface de l'espace à quatre dimensions (#,, ff2, a?3, xA) qui correspond à l'aire A du plan («, r). On voit qu'on peut permuter x et y; on aura une seconde intégrale égale et de signe contraire; on peut dire qu'elle est étendue à l'autre côté de la surface.

Mettons en évidence la partie réelle et la partie imaginaire de l'intégrale; en remplaçant x et y par leurs valeurs et posant F = P H- «Q, on obtient

rp(gt>*,) D(gllJP>)1 j du dç

Nous av. .us donc respectivement comme parties réelle et imaginaire

rr\P\ à(*u *i) 2i£!iZiJl L-q rp(** *a) h- pc*"-*^! U/,A>.

,/J r|. D(«, p) D,i*;p)J ^l D(a, ^ DU, p)J(

JJ |Q| D(7^T) DUTVTJ " L D(«,p) D(h,p) J (

que l'on peul écrire, sous forme plus abrégée, en se reportant aui définitions,

f fP(dXi dxt—da , '//•;) — Qu/r, rfj?3-+ ./.r, rfa?4),

f^<> dXxdXt— dXidxk) ?(dxt dx9+ dX\ '/>;),

Intégrales de même forme que celles qui onl été étudiées au paraiphe pi ■•'■« édenl .

I n eci étanl bien compris, il esl facile de décider si l'on

peut étendre à ces intégrales doubles le théorème fondamental de Cauchy. En d'autres termes, l'intégrale double ci-dessus restet-elle invariable quand on déforme la surface a" intégration en la faisant toujours passer par le même contour?

Nous allons voir que les conditions trouvées au paragraphe précédent sont vérifiées. Prenons la première de ces intégrales

/ / P ( dxx dx3 — dx2 dx\ ) — Q ( dx2 dx:i -+- dxx dx± ) .

Si nous l'écrivons comme plus haut sous la forme

/ / 2^ ^ikdxidxk, •on doit poser

les autres A sont nuls.

Or nous avons ici à vérifier quatre conditions, puisque quatre est le nombre des combinaisons de quatre lettres trois à trois. Soit d'abord la condition

elle se réduit à Soit encore elle se réduit à

<?A12 <M23 àA3X àxA àxi àx2

àQ dP

<?A23 <JA34 ' dA42 __ ÔXl à Xi dx-x

àQ à\>

ôx-^éx-3=°-

Les deux relations entre P et Q que nous venons de trouver sont vérifiées ; ce sont, en effet, deux des relations exprimant que P -f- i Q

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. igS

est une fonction analytique de xK -f- ir2 et.r;, -h /./■-,. On s'assurera de la même manière que les deux conditions restantes, relatives à L'intégrale considérée, sont vérifiées pour la même raison. Il en est aussi de même des conditions relatives à la seconde intégrale : nous pouvons donc affirmer que le théorème de Cauchy s étend aux intégrales doubles.

16. Le théorème qui vient d'être établi peut, comme dans le cas d'une seule variable, s'énoncer sous une autre forme. Considérons, dans l'espace à quatre dimensions (x\ , ./■•>, ./;{, .///,), une surface fermée; une telle surface, par exemple, pourra être obtenue en

prenant

xi= ?/(m, v) (i = i, 2, 3, \).

les o étant des fonctions de u et e, périodiques par rapport à u et par rapport à v. Nous pouvons énoncer le théorème suivant, qui n'est qu'une autre forme de la proposition du paragraphe précédent :

Lï intégrale

V{x,y)dxdy,

prise le long dune surf ace fermée ^ sera nulle.

On sous-entend dans cet énonce': que la surface peut, par une déformation continue, se réduire à un point ou à une courbe, de telle manière que, pour l'ensemble des valeurs de x et y rencontrées par la surface pendant cette déformation, la fonction F ne cesse d être bien déterminée et continue. La démonstration es! immédiate; en effet, on pourra alors réduire la surface à un point ou à une courbe par une déformation continue et, pendant cette d< formation, la valeur de l'intégrale ne changera p;i^ : or la valeur de l'intégrale double ne peut être que zéro, puisque l'aire delà surface d'intégration tend vers zen».

2(jO CIIAP1THE IX.