IV. — Des résidus des intégrales doubles de fonctions
rationnelles (1).
17. Si une surface fermée ne peut être réduite à un point ou à une courbe, par une déformation continue, sans rencontrer des systèmes de valeurs de x et de y, pour lesquelles F(x, y) devienne infinie ou indéterminée, la valeur de l'intégrale pourra être différente de zéro : on appelle alors cette valeur un résidu de l'intégrale double. Dans ce qui va suivre, nous nous bornerons au cas où le continuum d'intégration reste tout entier à distance finie.
Prenons d'abord un exemple très simple; soit l'intégrale
xy
P(#, y) étant une fonction holomorphe de x et y dans le voisinage de x — o, y = o. Je considère la surface définie par les deux
équations
x — R eu\ y = R' ew',
les paramètres réels u et v variant de o à 2?r : c'est une surface fermée. La valeur de l'intégrale sur cette surface est
— I I P(Re«', R'te*i) du'dv,
dont la valeur est manifestement
On aurait pu prendre, comme surface d'intégration, l'ensemble de deux courbes fermées G et G' entourant une fois l'origine dans les plans respectifs des variables x et y. Le résultat aurait été le
(x) La notion de résidu des intégrales doubles de fonctions rationnelles est due à M. Poincaré [Sur les résidus des intégrales doubles (Acta tnathematica, t. IX)]. Le point de vue auquel nous nous plaçons ici est celui que j'ai adopté dans mon Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables (Journal de Mathématiques, 1889), et dans une Note du Tome CXXIV des Comptes rendus.
Nous suppasons, dans cette section, que le lecteur connaît la théorie des intégrales abéliennes; cette théorie sera développée dans un Chapitre suivant.
même. Suivant le sens d'intégration sur les deux courbes C et C/, on peut obtenir des résultats de signes différents. L'intégrale double
~ dx dy
x"1 y nous donne, dans les mêmes conditions,
et, en développant P(./\ y) suivant les puissances de x etj', restera simplement, comme valeur de L'intégrale,
(m — i)l (n — i)l \ ùx'»-i dy'1 - » ) x=0
Jm+n-l p
18. Présentons immédiatement quelques considérations générales. Soit l'intégrale
V el V étant deux polynômes en x et r, réductibles ou irréductibles. Pour une valeur donnée à r, L'équation en x
;i un certain nombre de racines. Traçons dans le plan de la variable x un contour fermé G contenanl à son intérieur un certain nombre de racines
de L'équation précédente. Quand y varie d'une manière continue,
/ varienl d'une manière continue; déformons en même temps
d'une manière continue !<■ contoui C de façon que les racines
r , . / 1 -, restent toujours à son Intérieur et que Les racines
de L'équation \. primitivement extérieures à ( . lui restenl toujours extérieures. Supposons que La variable y décrive alors dans son plan un contour fermé I tel que, quand elle revient au point d<-
départ, Les racines /(. /, , t reprennent la même valeur
ou soient seulement permutées entre elles, et que !<• contour G puisse a I arrivée reprendre La même position <ju au départ. Dans
ces conditions, l'ensemble des courbes C, correspondant aux divers points de T, peut être regardé comme formant un continuum fermé à deux dimensions dans l'espace à quatre dimensions. La fonction rationnelle
reste finie pour tous les^points de cette surface, et la valeur correspondante de l'intégrale double est en général différente de zéro.
19. Faisons une première application de ces généralités. Nous envisageons l'intégrale
«> f feu P(^} ,<**&>
Q et R étant deux polynômes, et nous supposons que le point x ■== o, y = o soit un point simple de rencontre des deux courbes Q = o et R= o. Pour une valeur dey voisine de zéro, l'équation Q = oa une ïacine xK voisine de zéro, et l'équation R = o une racine x2 voisine de zéro, de telle sorte que
Prenons comme courbe G une courbe dans le plan des x entou-
Fig. 29.
rant #t et laissant x2 à son extérieur. Quand la variable y décrit autour de l'origine une courbe fermée T suffisamment petite, les points xx et x2 reviennent à la fin à leur position initiale, et si G, en se déformant, reste suffisamment rapproché de xu il laissera toujours x2 à son extérieur. On peut par exemple supposer, si l'on veut, que G est un cercle de rayon assez petit, ayant x{ pour centre.
Cherchons la valeur de l'intégrale prise le long de la surface fermée correspondant à T et à l'ensemble des courbes C. Laissant
(Tabord y constant, nous avons à prendre, dans le plan des .r, l'intégrale
Q(#» y) rO, y)
Il faut donc calculer le résidu par rapport à X\ de la fonction rationnelle
Nous avons, pour valeur de cette première intégrale,
et il faut prendre maintenant dans le plan des y
* JrQ'Avi,y) K(a:i, y) J'
Au dénominateur, Ri./,, y) est une fonction de y s'annulant
pour V = o. Or, le résidu pour j^ = o de la fonction sous le signe
(I intégration est
Qi(o, O I Or
a ly
àQ
,1 , rVH dxt <)\\ OH dy <)\\
-—\\{Xl.))= , - ; H = —7— H
dy QX\ dy dy Uyy o>Q c/j-
On trouve donc, pour la valeur de l'intégrale,
/àH. aQ <)\\ àQ \<)y àx ùx ôy J x=o
11 rM ;n»é de vérifier que, si I <m avail pris un contour G, envel«»l»|i;iut les deux racines x{ el #3, La valeur de L'intégrale aurait nulle.
!20. I u i-,is présentant 1 1 n < ■ grande analogie avec celui «pu vient
de nous occuper est celui où l'on aurait l'intégrale
dx dy,
la courbe A (a?, y) = o ayant un point double à l'origine. Nous avons pour y voisin de zéro deux racines xK et x2 ; nous considérons les mêmes courbes que plus haut. On a alors à calculer
2 7tj / \ l1J - dy.
Le résidu de la fonction sous le signe d'intégration est
„ dxx
Or, pour r = o, -^ satisfait à l'équation du second degré
if) +'^r(-$i
Kri^è) +* a" ^ +a;. = o,
et l'on trouve alors de suite pour valeur de l'intégrale
— 4tt2
Ceci suppose que l'on n'a pas un point de rebroussement. Dans ce cas, les deux racines xK et x2 se permutent quand y tourne autour de l'origine, et pour que la surface considérée soit fermée, il faut que y tourne deux fois autour de l'origine. On a alors à
prendre l'intégrale
■ rV(xuy) 2 îc 1 / -T-r- — — dy
le long dune courbe entourant deux fois l'origine, et l'intégrale est nécessairement nulle.
21. Après ces exemples, revenons aux considérations générales du paragraphe 18. Le cas le plus simple serait celui où le contour G ne contiendrait qu'une seule racine xK à son intérieur; il faudrait alors que le contour F du plan des y fût un cycle pour
DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 3oi
la racine xK de l'équation
k(xuy) = o,
de telle sorte que xK revienne à sa valeur initiale quand y décrit I\ En intégrant d'abord, en laissant y constant, nous avons
VtOi>.r) et l'intégrale chercliée est égale à
is//e <?s£ é/o/êc égale à une période cV une intégrale abélienne relative à la courbe A(x,y) = o ou à une de ses courbes composantes, dans le cas où A serait réductible.
Soit maintenant d'une manière générale
un ensemble de racines situées dans G et se permutant les unes dans les autres quand y décrit T. Nous pouvons substituer à C un certain nombre de courbes fermées de telle sorte que chacune <l elles ne contienne que des racines se permutant circulairenient les unes dans les autres, et notre surface primitive sera ainsi remplacée par un certain nombre de surfaces plus simples. Il suffira de considérer L'une d elles, et de supposer par conséquent que G' ne renferme que ./■,, ./■.,, ..., x^ en admettant que celles-ci se permutenl circulairenient. Nous aurons comme valeur de L'intégrale
'•'.VI ^(*..^) Ait*,,,) +--+k>A*t,y)\ dy-
Or. d autre part, la courbe r parcourue u fois formera évidemmenl un cycle pour La racine ./*, : formons alors l'intégrale
Le Long du cycle ainsi défini. La valeur de cette intégrale sera
i I expression (2 >, Les différents termes de cette expression
respondanl aux différents tours faits but La courbe I . Nous
retrouvons donc encore, comme plus haut, une période d'intégrale abélienne
Prenons, comme application, l'intégrale double
dx dy
On formera l'intégrale simple
iTzi f* dy
x étant lié à y par la relation
Les deux périodes de cette intégrale elliptique de première espèce seront les résidus de l'intégrale double (3).
22. Nous venons d'indiquer une classe très étendue de surfaces fermées pour lesquelles la valeur correspondante de l'intégrale double se ramène à une période, polaire ou cyclique, d'une intégrale abélienne. On peut se demander si la valeur de V intégrale double d' une fraction rationnelle
ffl(^-dxdy,
prise suivant une surface fermée arbitraire, tout entière à distance finie, assujettie seulement à ne pas rencontrer le continuum défini par l'équation
se l'amènera à une somme de multiples des valeurs que no-us venons de trouver. La réponse est affirmative, et c'est ce théorème que nous allons établir.
Si l'on pose x = xt -\- ix2, y =-y\ -+- iy%^ toute surface à deux dimensions sera représentée par deux relations entre
*i, #2, Xu y*-
Nous supposons que le champ d'intégration ne corresponde pas à x arbitraire, y restant constant, auquel cas l'intégrale serait
DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 3o3
nulle. Nous admettons aussi que le polynôme A(#, y) et ses divers facteurs irréductibles (s'il est réductible) contiennent simultanément x et y, comme on peut toujours le supposer, en avant fait préalablement une substitution linéaire. Pour une valeur donnée à. y2l l'équation
ou, ce qui revient au même, les deux équations
As(xi3 t,, yt,yt) = o
définissent un ensemble de valeurs de xi: x2, yr\ que l'on peut regarder comme représentant un certain nombre de courbes gauches a dans l'espace à trois dimensions (#,, x2,y{). Chaque
plan
yx = const.
rencontre les courbes a en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir le nombre des racines de l'équation A (a?, y) = o pour une valeur arbitraire donnée à y. Sauf pour certaines valeurs de y2 en nombre fini, l'ensemble des courbes a ne présente pas de points multiples; les valeurs de y2, pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de i dans les valeurs de y pour lesquelles l'équation \ r, y) = o a une racine multiple.
Ceci posé, revenons à notre surface fermée S d'intégration conçue tout à Fait dune manière générale. La surface étant tout entière ;'< distance finie, il n'y aura de points de la surface que pour des valeurs de y2 comprises entre deux certaines limites aK el <t2 (at <Ca2). Quand y2 en croissant devient égale à a,, une courbe correspondante commence à paraître sur S. Deus cas peuvent se présenter : ou bien cette courbe se réduit à un point, ou elle est la limite de deux courbes qui sont venues se confondre; dans toute autre hypothèse la surface ue serait pas fermée. La courbe ne peut d'ailleurs, pour y2~ci\, se réduire à un point si l'on \<'ut que L'intégrale -<>it différente de zéro, car pour- i ■. arbitraire La courbe correspondante, extension de ce point, ue tournerait j ».«^ autour courbes x, et L'on pourrait, par une déformation continue,
3o4 CHAPITRE IX.
réduire à zéro, sans rencontrer aucune singularité, une portion fermée de la surface. Nous avons donc pour y2 = a{ une certaine courbe, enveloppant quelques-unes des lignes a; quand y2 croît cette courbe se dédouble, et l'on a ainsi pour y2 arbitraire des couples de courbes qui, pendant la variation continue de y2, ne peuvent disparaître que deux par deux en venant à coïncider. Nous désignerons par G une de ces courbes correspondant à une valeur d'ailleurs quelconque de y2.
Considérons alors une courbe C et les lignes a qui correspondent à la même valeur de y2. Par cette courbe C faisons passer une surface S ayant G pour contour. Cette surface rencontrera une ou plusieurs lignes a; soient M ces points de rencontre. Une déformation continue de C permettra, en supprimant des lignes parcourues deux fois en sens inverse, de la réduire à de petites courbes entourant les points M. On pourra ensuite déplacer ces dernières courbes de manière qu'elles soient chacune dans un plan,
yx = const.,
toutes ces réductions et tous ces déplacements s'effectuant d'ailleurs sans traverser les lignes a.
De cette façon nous avons remplacé la surface initiale S par un certain nombre de surfaces engendrées par une petite courbe située dans un plan
K étant une constante, qui varie avec y2 suivant une loi en grande partie arbitraire. Chacune de nos nouvelles surfaces rentre dans le type des surfaces étudiées au paragraphe précédent; l'ensemble des valeurs de y2 et de yK donne sur le plan de la variable^ une courbe fermée, et à chaque point de cette courbe fermée correspond une petite courbe dans le plan de la variable x. Le théorème est donc établi.
Il est donc démontré que tout résidu de V intégrale double
P(#, y) dx dy
peut être regardé comme une période logarithmique ou cyclique d'une intégrale abélienne.
DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 3o5
23. Considérons, comme application, une intégrale double étudiée il y a longtemps déjà par Didon [Sur une formule de Calcul intégral (Annales de l'Ecole Normale, 1873)]. Ce géomètre, guidé sans doute par la pensée de trouver le nombre dest racines communes à deux équations simultanées
/O, jkj = o, <?0,r) = o,
racines pour lesquelles Y.r fut compris dans un certain contour C du plan des x, tandis que Yy devait être à l'intérieur d'un contour C! du plan des y, considéra l'intégrale double
fi
Je. Je
A d.r dy /?
, . à f dç> d f do , . ,, 1, • r^ 1 -il
ou A = -—- -p r- ~r-> la variable x décrivant C et la variable y
ox oy ôy ox ^
décrivant C. On suppose, bien entendu, qu'il n'y a pas de système (x, y) annulant soit /, soit cp pour lequel x soit sur C et y sur C. Cette intégrale offre évidemment une certaine analogie avec l'intégrale de Cauchy
qui esl égale au produit par 2-/ du nombre des racines contenues dans C.
Didon démontre que l'intégrale (4) est égale au produit de (/A-i)- par un nombre entier, mais ici ce nombre entier n'a, en général, aucune relation avec le nombre des racines communes aux deux équations. Au point de vue où nous sommes placé, le résultat de Didon devient évident, et l'on peut même lui donner une forme plus générale en considérant l'intégrale double
ri
étendue .1 une surface fermée quelconque a deux dimensions s de I espace 1 quatre dimensions, pourvu que sur cette surface fo -•ut toujours diffère ni <!<• zéro.. Posons
Pli uin. — ir.
3o6 CHAPITRE IX.
à la surface S de l'espace à quatre dimensions (.r, y) correspond une surface fermée S de l'espace (X, Y); on a donc à considérer
l'intégrale double
dXdY XY
Or tous les résidus de cette intégrale double sont égaux à un multiple de (a-wî)*; on a donc pour valeur de l'intégrale (4) une expression nécessairement de la forme
p étant un entier positif ou négatif.
Il serait facile de démontrer directement ce résultat sans recourir à aucune théorie sur les intégrales de fonctions de deux variables complexes; c'est ce que fait Didon. Considérons d'abord l'intégrale
*dx dy
ff
dx dy.
Désignons par x0 et y0 les valeurs initiales d'intégration sur C et C'; prenons une détermination initiale de
log/(a?0»^o)i
et, dans la suite, log/(#, y) désignera la détermination obtenue du logarithme, quand x et y ont marché respectivement sur G et C depuis x0 et y0 dans le sens positif. En intégrant par parties, on a
àf &
f/^^/= fl^A^^-^fi^y^À^dy
Je Je- J v Je » <?kxo, y)
ff
log/(#'0, y) indique la valeur de log/(.r, y) quand x revient en x0; la différence des logarithmes qui figurent dans l'intégrale double du second membre est donc égale à iizim, m étant un
DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 3o7
entier. On a de la même manière
<)f cfc?
f f-y- ^rd*dr = fl^A^yo)--^A^yo)]^^dx
Je Je / • ? Je <t\x> yo)
et la valeur delog/(.r, y'0) — log/'(./,y0)est égale à 2 7cm, n étant un entier. La valeur de l'intégrale (4) se met alors sous la forme
ni
Jc> <?(*o, y) J Jc o{x,y0) or on a évidemment
Je 9(^0,7) Jc <fO, 7o)
m' et n' étant des entiers; nous arrivons donc à
— \r.~i nui' — tri' n),
qui est bien de la forme voulue. La signification des entiers m et n est d'ailleurs immédiate, mais le coefficient de — /\tz2 peut avoir une valeur absolue différente du nombre des racines des équations f ==o, cp = o, pour lesquelles 1/ est compris dans C et V y dans ( Y.
C'e-i par une tout autre voie qu'on pourrait obtenir le nombre des racines des deux équations
pour lesquelles 1 './■ est contenu dans le contour C, et Yy contenu dans le contour Cf. On sait, en effet, qu'on peu! représenter (') par une intégrale triple le nombre «les racines des deux équations précédentes contenu à L'intérieur «I Un continuum fermé S à trois dimensions situ»'' dans L'espace à quatre dimensions (./•, r); cette Intégrale triple esl étendue à ce continuum S. 11 suffira ici de prendre pour continuum S la somme <lu continuum obtenu en
• »n peut consultei le l ha pitre Vil de ce Volurn mt ex po» 9 Lei ira
vaux di Kroneckei et de M. Picard lur cei questions.
donnant à x une position quelconque à l'intérieur de C, tandis que y reste sur G', et du continuum analogue qui correspond à x restant sur C tandis que y occupe une position quelconque à l'intérieur de G'. La solution du problème proposé est donc fournie par une intégration triple, et non par une intégrale double.
24. Faisons, en terminant, une remarque importante ('), qui accuse une différence profonde entre la théorie des intégrales doubles de deux variables complexes et celle des intégrales simples d'une variable complexe. Dans cette dernière théorie on ne peut faire passer le chemin d'intégration par un point où la fonction devient infinie : bornons-nous aux intégrales de fractions rationnelles ; l'intégrale
n'a aucun sens, si le chemin d'intégration passe par une racine du polynôme Q(z). Il peut en être autrement dans le cas des intégrales doubles ; soit l'intégrale
pri — -^— dx dy. Q(x,y) J
Elle pourra avoir un sens bien déterminé si la surface d'intégration S rencontre le continuum défini par l'équation
Il en sera ainsi si les points de rencontre des continuum S et Q ne forment pas une ligne, c'est-à-dire sont des points isolés, et si
P en ces points le quotient -~- devient infini seulement du premier
ordre. On sait, en effet, qu'une intégrale double ordinaire a un sens, quand l'élément devient infini en un point A, pourvu que la
fonction sous le signe d'intégration soit de l'ordre -> en désignant
par p la distance du point variable au point A.
(*) Cette remarque a été faite par M. Poincaré dans le Mémoire déjà cité (Acta mathematica :, t. IX. p. 368).
DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 3oO,
Prenons, comme exemple, l'intégrale
le rapport 7 n'étant pas réel. Supposons que la surface S d'intégration corresponde à un ensemble de valeurs réelles de x et y, parmi lesquelles se trouvent x = y = o. L'intégrale aura un sens, quoique la fonction sous le signe d'intégration devienne infinie pour x = o,jk = o [nous supposerons P(o, o) y^o]. Nous pouvons, en effet, sur S, poser
,r = pcosQ, jK = psin6, p et 9 étant réels : nous avons alors l'intégrale
a cost) -i- b mu <J '
Avec l'hypothèse faite sur le quotient -r% le dénominateur ne peut s'annuler pour une valeur réelle de 9, et l'intégrale a, par suite, une valeur parfaitement déterminée. Le continuum d'intégration et le continuum
ont ici, comme seul point de rencontre, l'origine. Les circonstances -fiaient autres si j- était réel; il v aurait alors une comité
de rencontre entre les deux continuum el l'intégrale n'aurail aucun sens.
Revenons au cas général de L'intégrale
et supposons que la surface d'intégration S rencontre <'n un point ontinuum Q. Ou déforme la surface S en lui Laissant le même contour. Le point de rencontre | ./•. y) avec Q va se déplacer; il va passer de la position ^» de coordonnées (#,, ^,) à la |>< »^i tion \ j de coordonnées i ... yt). La valeur de L'intégrale ne restera constante, comme dans !<• cas où S ne rencontrait pas Q; il est facile de trouver La différence des valeurs finale <'i Initiale de L intégrale. Cette différence sera égale à La valeur- de L'intégrale
3lO CHAPITRE IX.
prise le long de la surface engendrée par une courbe infiniment petite entourant le point x, racine de l'équation
quand (#, y) se déplace de (x{,y{) à (x^y%)\ elle sera donc égale à l'intégrale simple
{.rl>yi) Q.x(xi y)
comme on le voit de suite, en faisant des calculs analogues à ceux du n° 21.
