J0 R* — aRrcos(<|> — <p)-+-r* nK ' ' Y

/• et op étant les coordonnées polaires de s, ««('{>) indiquant la valeur de un au point de la circonférence d'argument ty. Dans

cette formule on peut différentiel- sous le signe / par rapport à x

et y sans difficulté. La convergence des url('b) sur G entraînera

celle des - ; et -~ dans C. C peut être d'ailleurs remplacé par un

cercle quelconque dans A.

f ( ') La suite des JnK~J — e"»+»'.. est donc convergente ('), celle

des fn(z) lest aussi et sa limite f(x), d'après le théorème de Weierstrass (n° 40, Ghap. V) est holomorphe dans A,/(o)=o, /'(o) > i ; f(z>) ne se réduit donc pas à une constante.

22. La fonction Ç==f(z) donne la représentation conforme de V intérieur de Caire A sur Vintèrieur du cercle |Ç| <^ i. On pourrait pour le montrer se reporter simplement au n" 0 du présent Chapitre. En effet la fonction harmonique

U==iog|/(*)| = K+ log|*|

jouit de toutes les propriétés reconnues à la fonction U(.r, y) à cet endroit. Car étant < r— j on aura Un — logl c | et par

Suite

u < — lo^'| z\.

I >onc 1 o dans A.

M ae serait pas difficile de prouver que Lorsque z tend vers un point frontière de A, U tend cas zéro. De^ lors le raisonnement du n" 6 serait valable et dispenserait même de prouver, comme

(') On trouvera dans !«• Mémoire cité de M. Lindelol une démonstration directe de II convergence des /*(*) qui n'utilise pas le théorème de Harnack.

nous l'avons fait, la convergence des vn. La fonction ( — U) est la fonction de Green de l'aire A relative au pôle O; elle est harmonique et régulière dans A, sauf en O, où elle est infinie comme

log-j et lorsque le point (x,y) tend vers un point fonction de A.

U tend vers zéro.

Mais il est plus instructif de faire ici un raisonnement direct.

D'abord \f?i(z)\ étant <^ i en tout point intérieur à A, on aura \f(z) ~ i dans A et comme le maximum du module d'une fonction holomorphe dans A ne peut être atteint qu'en un point frontière [f(z) n'étant pas constante], il est clair que l'on aura \f(z) I <C ï en tout point intérieur à A. A tout point 'z intérieur à A correspond par Ç=y(s) un point et un seul intérieur au cercle | Ç | <[ i .

Soit, inversement Çû5 un point quelconque tel que |Ç0|<^i. Puisque Fn frontière de A„ tend vers la circonférence | Ç | = i on aura, pour une valeur de n assez grande, rn >> | £0 | et même, r étant un nombre ;> | Ç0 | et < i , on aura rn ^> r ^> | Ç0 j.

Ç0, intérieur à la circonférence | Ç | = ;*, est intérieur à An. Par ^=fn(^js) correspond à l'aire A„ de Ç, l'aire A de z, au cercle | Ç| = r une courbe fermée Cn(r) intérieure à A et entourant l'origine.

Sur G«(n) on a \fn(<z)\ == /'. Or \f{z) | > \fk(z) |i donc sur G„ (r) et à l'extérieur on a \f(z) | !> r et dans la partie de A extérieure à Cn(z) f(z) ne prend pas ha valeur Ç0.

Considérons les deux équations

f(z) = o et ftz) — Ço=o.

Sur Cn(r) on a \f{z) | > /• ]> | Ç0 |» donc d'après un théorème déjà utilisé au n° 51 du Chapitre V [note (')] et démontré en détail au n° 25 du Chapitre IX du présent volume, les deux équations ci-dessus ont le même nombre de racines dans C„(r).

Par conséquent Ç0 étant un point quelconque intérieur au cercle | Ç | < i il lui correspond, par Ç =f(z), autant de points z de A qu'à Ç=; o.

Or, à cause de l'inégalité \f(z) \^>\z\ vérifiée dans A, f(z) ne s'annule que pour z = o et comme /' (o) ^> i ce zéro est simple pourf(z).

// correspond donc à tout point Ç0(| Çe |<^ i) un point z^ et un seul intérieur à A. La relation Z=f(z) établit la représentation conforme de Yintérieur de Vaire A sur l'intérieur du cercle j Ç | i. En tout point z0 de A, f(z0) ^é o pour éviter les zéros multiples de f(z) — f(z0). La fonction ^(Ç), in\< de f(z), sera holomorphe à l'intérieur de | ^ I <[ i .

23. La correspondance établie par £ z=f(z) entre les points intérieurs de A et les points intérieurs de | Ç | <[ i s'étend aux frontières. Des études approfondies de cette correspondance entre les fonctions ont été publiées dans ces dix dernières années. Le lecteur trouvera, dans le Mémoire cité de M. Lindelôf, toutes les indications bibliographiques nécessaires sur ce sujet qui sort du cadre de notre livre.

V. — Sur un développement en séries de polynômes déduit de la représentation conforme.

ï2i. Nous avons déduit (n° 14) de la représentation conforme dune aire elliptique un développement d'une fonction en série de polynômes. D'une manière générale, pour un contour régulièrement analytique, on peut avoir <les développements analogues avec des polynômes qui dépendent uniquement du contour; c'est ce que noua allons établir avec M. G. Faber ( ' ).

Soit don»- S une aire, située tout entière à distance finie dans le plan de fa variable s, Limitée par le contour (1 régulièrement anal) tique; désignons par \ L'aire extérieure à G. D'après ce que nous .i\ ns vu dans ce Chapitre, on peut faire une représentation forme de L'aire \ sur L'intérieur du cercle I" de rayon un, dans le plan 'l'une variable complexe /, el cela «le telle manière que Le } il s corresponde au point / o. On aura, pour ce

repi ésentai m conforme,

i -fi

el la loin hou /'i 1 1 sera holomorphe dans Le cercle de rayon r/n.

r polynomischi i n « Math, tnnalen, t. LVIl,

sauf au point t = o, qui sera pour elle un pôle simple. La fonction précédente sera aussi holomorphe sur la circonférence et un peu au delà, puisque C est régulièrement analytique. Soit maintenant une circonférence Tt extérieure et concentrique à T, et de rayon très peu différent, de manière que/(/) soit encore holomorphe sur Tj. La transformation (2) fera correspondre à r, une courbe d intérieure à G, et qui sera très voisine de cette dernière.

Ceci posé, le point x étant à l'intérieur de Cj, nous avons, d'après la formule de Cauchy,

si F(^) est une fonction holomorphe dans C. En faisant le changement de variable

nous aurons

Cette formule va nous donner très aisément un développement de F(x) en série de polynômes, ceux-ci dépendant uniquement du contour G et nullement delà fonction F (x) que l'on développe.