Considérons l'expression

fit) fit)-*'

en supposant t à l'intérieur de la circonférence Tj ou sur cette circonférence. Cette expression sera holomorphe dans cette circonférence, sauf au point t = o qui sera visiblement un pôle, avec résidu égal à — i . Si l'on développe suivant les puissances de £, on aura

fin

f(t) — x t Ad

et l'on voit aisément que Vn(x) est un polynôme en x de degré n. Soit, en effet,

Q étant une série entière; on aura

* a — tQ(t) — tx

En développant le second terme suivant les puissances positives de t, il apparaît de suite que le coefficient de tn est un polynôme de degré n -\- \ en x.

!2(). Si nous revenons maintenant à la formule

on aura un développement de la forme

F(.r) = a0-h a\ Pt (x) -+-... T-j- anPn(x) H-,..,

où les a sont des constante- c'est le développement cherché.

Les polynômes P(x) ne dépendent que du contour C; les coefficients a sont donnés par des intégrales définies. Ainsi on a

La série précédente généralise manifestement la série de Taylor, avec laquelle elle se confond, si le contour C esl une circonférence. On pourrait, à l'occasion des séries de la forme

«o^- «i Pi(^)-h...H-anPrt(a?) ■+-...,

développer une théorie analogue à celle des séries entières; mais «1 nous suffira d'avoir indiqué un mode de développements léries de polynômes, de nature différente de celui qui nous avait antéi ieurement occupé.