I. — Méthode de Cauchy-Lipschitz relative à l'existence
des intégrales.
1. Nous commencerons par donner la première démonstration de Cauchy relative à l'existence des intégrales d'un système d'équations différentielles ordinaires du premier ordre
-j^ ^Mv,yu.y*, --^ym),
dym , f \
-j^r =fm(x, yuy2, ...,7m).
Cette démonstration nous est seulement connue par les Leçons du grand géomètre publiées en i844 Par M. Moigno; elle concerne spécialement le cas où les fonctions f et les variables sont réelles. Son point de départ, aussi naturel que possible, consiste à regarder les équations différentielles comme limites d'une suc+ cession d'équations aux différences. Lipschitz (*) a simplifié notablement la démonstration de Cauchy et a bien mis en évidence les hypothèses fondamentales nécessaires pour la démonstration.
(l) Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, p.. 5o4.
THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES. 35l
Pour simplifier l'exposition et éviter des indices multiples, nous nous bornerons au cas d'une seule équation; la méthode s'étendra d'elle-même aux ni équations écrites plus haut. Partons donc de V équation différentielle du premier ordre
Nous faisons sur y*(;r, y) les hypothèses suivantes. Dans le voisinage d'un certain système de valeurs (xQ,yn), correspondant à
ii) \x — -#0|<a, \y— yo\<b,
la fonction réelle J \x, y) des deux variables réelles x et y est continue, c'est-à-dire que, étant donnée une quantité A aussi petite, qu'on voudra, on pourra déterminer 8 tel que pour
| Ax |< 8, | Ay |< o, on ait
\f(x -h\x,y+ Ay) —f(x,y) | < X,
les points (j?, y), (x -\- Ax , y -\- Ay) étant dans la région définie par les inégalités ( i ).
De plus, et c'est l'hypothèse bien mise en évidence par Lipgehitz, il sera nécessaire de supposer qu'il existe une quantité positive k telle que
l/(*»>i)— /(*>.ri)l <k\yi— ri I-
Cette hypothèse est manifestement d'un caractère très général; elle est vérifiée, d'après le théorème des accroissements finis, si f a, par rapporl à y, une dérivée partielle qui reste finir,
Ceci posé, soil \ une quantité positive satisfaisant .mx inégalités
en appelanl M la valeur absolue maxima (\v /(x. y) pour l< ^
points du domaine ( i ).
Noua .liions montrer qu'il existe une fonction continue ^ de x tai m t à V équation différentielle
352 CHAPITUE XI.
définie pour toute valeur de x telle que
■'■ - xq : a
et prenant pour x = xQ la valeur y0.
C'est le théorème fondamental de la théorie des équations différentielles ordinaires.
2. Notre point de départ sera le même que pour arriver à la notion de l'intégrale définie au début du Tome ! de ce Traité. Considérons une valeur x pour laquelle
(nous pouvons supposer x^>xb). On partage l'intervalle x0x en intervalles
XqXi, Xi.T->i . . , Xn—\X.
Formons alors les équations aux différences
7i — 7o = (xl — x{)) /(#0,7o),
7— Yn-\ = ix — xn .,)/( xn-u yn-x >,
qui détermineront successivement les quantités y{1 y2, ..., 7«<,7. On doit remarquer que chacune des valeurs trouvées pour les 7, soit pour y/, est telle que
\ûri— 7ol <b- On a, en efi°et, d'abord pour y«,
! 7i — 7o |< M j>t — a?0 )< AM < b ; pour y o on aura
y-i = 70 -+- ( #1 — ^0 )/Oo, 70 ) -+- O2 — ^1 )/( &V, y\ ) ;
donc
l72-7o l < M(.r,- o?0) < MA < 6,
et ainsi de suite
La valeur finale y est donc une expression parfaitement déterminée dépendant de x et des points de subdivision xi} x>, . . ., xn{ .
Par analogie avec la question que nous avons traitée dans le cas
de l'équation très simple (t. T, p. 2)
cly *t \
nous devons nous demander si cette expression y tend vers une limite déterminée, quand, x restant fixe, tous les intervalles tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment.
Nous allons montrer qu'il y a bien une limite, et celle-ci est la fonction de x que nous cherchons.
3. Nous considérerons d'abord une première loi de subdivision telle que l'on passe d'un mode d'intervalles au suivant en fractionnant chacun des intervalles précédents. Nous allons établir que, pour une telle loi de subdivision, y tend vers une limite.
Soit
le premier mode de subdivision; nous marquerons par un accent le second mode de subdivision, et pareillement les valeurs dey auront des lettres accentuées. Soient l'intervalle xaxa+{ et
x 1 = xx, . . . , x m . . . , x n = xa+i
les valeurs intermédiaires des x' .
On aura
\y'm—y\\ <(x'm— */)M <(.ra+,— a?a)M.
Nous supposons la première subdivision poussée assez loin pour que
•Zch-1 — *a<$ et (a?*M— a?a)M<8.
On aura par suite, 0 et A se correspondant d'après les notations du n° 1,
Or f>n ;.
y,. x-y, =(*ki— *;) /(*î,y/)i
l'ICAIIh II.
donc, en faisant la somme et se servant des inégalités (E),
D'ailleurs
JKa+i— JKa= (^a+i-^a')/(^a,/a).
on en conclut
mais x't= xa\ nous avons donc, en nous servant de la seconde hypothèse faite sur y,
\y'n— Ja+i I < |r/— Ja! + (%+i~ #a) [*!.// — /a | "H X ],
inégalité fondamentale dont nous allons tirer la démonstration de V existence de la limite.
On voit que cette inégalité donne une limite de la différence des valeurs des lettres accentuées et non accentuées en x"a+i en fonction de leur différence en x"a. Nous sommes donc assuré, en allant de proche en proche, de trouver une limite supérieure de
\yr—y\ en^-
Désignons, pour abréger, par \a+\ la différence \y'n — y&+\ |- Uinégalité précédente, à savoir
Va+1 < Va+ (xa+l — a7a)[*Va4- Mi
pourra s'écrire
Va+i< Va[i + X:(^a+1— xa)] -h À(>a+i — xa), OU
Va+i 4- j < f Va -4- j j [i-h A-(a7a+i — a?a)]î par conséquent, puisque V0= o, Va+i+ j < j[i-hk(xi — a?0)][n- Ar(a?2 — a?i)] .. . [i-h £(#a+i — '*«)]..■
Or, pour # positif, on a
i -h A :x < e*-*; on en conclut
OU
\yrn—y*+\ I < J. [c*<*«+.-*.>—i].
Prenant le point extrême a?, nous aurons, d'après ce qui précède, en désiguant par y la valeur à laquelle conduit le premier mode de subdivisions, et par y' celle à laquelle conduit le second mode,
\/-y\<-£leAix-x°]-i]-
Cette inégalité obtenue, la démonstration s'achève d'ellemême. A partir du mode de subdivision x, tous les autres modes de subdivisions suivants x' donnent pour y' des valeurs comprises entre
y "+■ j\ek[x~xJ— i] et 7 — -y [e*(*-ar0> — 1].
A* rC
Prenant alors une suite de quantités X décroissantes et tendant vers zéro, on formera, d'après un mode de raisonnement bien connu, une suite d'intervalles décroissants, tous compris les uns dans les autres et tendant vers zéro; la limite commune des deux extrémités de ces intervalles est la limite cherchée.
\iiim, nous avons une limite pour y quand on adopte une loi de subdivisions de la nature indiquée. Je dis que toute autre loi conduira à la même limite. Soient deux modes quelconques de subdivisions de l'intervalle x0x, marqués respectivement par les lettres
nous désignerons par x" la subdivision formée avec l'ensemble des deux premières. Si les intervalles x et x' sont moindres que 8 (8 correspondant, comme plus haut, à une valeur donner de X), on aura
\y"-y'\<\[eku-^-il
dont
y" -y I < y\e><lx-*o)-i\;
y-y'\<^W*^-il
Il en résulte bon évidemment, puisque a est pris aussi petit que
l'on veut, que y' aura une limite si y en a une, et ces deux limites seront les mêmes.
En résumé, nous avons établi que, quel que soit le mode de subdivision, y a une limite parfaitement déterminée. Cette limite est une fonction de x, qui pour x = x0 se réduit à y0.
4. Il reste à montrer que la fonction y de x, qui vient d'être obtenue, satisfait à l'équation différentielle
Soient, dans l'intervalle A, les trois points x0, x, x', et supposons pour fixer les idées,
Soienty la valeur de la fonction précédemment trouvée en X, et y1 sa valeur en x' . Pour trouver y\ on peut concevoir qu'on parte de x avec la valeur y et qu'on fractionne l'intervalle xx' en un nombre de parties grandissant indéfiniment. D'autre part, si l'on ne prend qu'un seul intervalle, on obtiendra la quantité Y' définie par
mais, si \x' — x\ <^ S (S correspondant toujours à une quantité X), on a, d'après le paragraphe précédent,
|Y'— y\ <~[é*<*'~^— il.
Nous pouvons écrire cette inégalité sous la forme
On aura donc et enfin
Y'-/= ™[ekx'-x)__ ï] (6»<i).
d'où résulte (en faisant tendre a?' vers # et remarquant qu'alors on
THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 35j
a bien
peut prendre X de plus en plus petit) que y a une dérivée -j- » et l'on
dx r.
ce qui achève la démonstration.
o. Le théorème fondamental que nous venons d'établir s'étend sans modifications essentielles au cas de m équations du premier ordre
dy
1 =/i(^/ji/»n • • •>;'»<),
(2) \ dx
dy,
dx
dy*
= fm(x,yuyi, . .., y m).
dx
On suppose que les fonctions f soient continues pour les valeurs des x et des y satisfaisant aux inégalités
\x-x0\<a, \yi — yî\<b, •••> \y>n—y%i\<b\
soit M la valeur absolue maxima des fonctions f dans ce domaine. De plus, on a, pour deux systèmes quelconques de points de ce domaine,
\M**y'\r/ii --, y'm)—fi{ *,yu y*, . ...j™)l <*i \/\—y\ I-+- k-Ay'<L — y-A -+-...-*- km\/m— ym\t
les /. étant des constantes positives.
En remplaçant, comme plus haut, les équations <lillcrentielles par des équations aux différences, on établira, sans autre peine cnie quelques Longueurs d'écriture, que dans la région définie par
ou
il ex Iste m (onction^ continues r, , V27 • • •• y m (b' x satisfaisant au Système d'équations différentielles, <-t prenant respectivement pour x = x0 les valeurs y*{1 y\^ . .., y°m. La région dans laquelle les
intégrales sont définies correspond donc à un intervalle tracé de part et d'autre de x0, et dont la longueur est la plus petite des
deux quantités
a et g.
6. Nous venons de trouver un système d'intégrales continues prenant des valeurs données pour x = x0. Nous allons maintenant démontrer que ce système est unique.
Il suffira de prendre le cas d'une seule équation; le raisonnement est général (* ). Soit donc l'équation
Nous avons trouvé une intégrale y, fonction continue de x et prenant pour x — x0 la valeur y0. Supposons qu'il existe une seconde intégrale Y jouissant des mêmes propriétés dans un certain intervalle à partir de x0) et soit
Oo, .-r0+B)
l'intervalle dans lequel y et Y sont toutes deux définies. Soit d'abord ,
ik Dans l'intervalle (#0, .r0-r- B) la différence
a un maximum, qu'elle atteint effectivement, et que nous désignerons par £, si les deux fonctions y et Y ne sont pas identiques. Or on a
. fc^/(*,r)-/(-,Y).
Or
l/(*, 7) -/(•*> Y) |< k | y- Y | < Are,
et, par suite, dans l'intervalle considéré,
(') Nous empruntons cette démonstration au Traité d' Analyse de M. Jordan.
11 y a donc contradiction, puisque \y — ^ | doit avoir s pour maximum.
Si B est supérieur à — 7, on considère d'abord l'intervalle
■ik
&o, a?o-+- TT 1 •>
soit s le maximum de \y — \ | dans cet intervalle. On aura, dans celui-ci, d'après l'équation
résultat qui nous conduit à la même contradiction. Il en résulte que dans l'intervalle lx0, x0-\ 7) les deux fonctions y et Y
coïncident. On continuera ainsi de x0-i 7 à x0-\- 2 — 7 et ainsi de
suite jusqu'à ce qu'on ait tout l'intervalle de x0 à x0-\-l&. Il est donc bien établi que les deux intégrales y et Y coïncident dans cet intervalle { ' ).
( ' ) Si, dans l'équation
on suppose seulement que /"(.r, y) est une fonction continue de x et y dans le voisinage de (x0, ^0), sans faire aucune hypothèse relative à la condition de Lipschitz, il pourrait arriver qu'il y eût plusieurs solutions prenant pour x = x0 la valeur y0. Un exemple de ce cas a été donné par M. Peano [Math, Annalen, t. XWYII); il est fourni par l'équation
dy \yxx
dx y"1 -h xs
Le second membre est une fonction continue de x et y dans le voisinage de x = o, y — o, car on peut l'écrire
2 yx*
y2-* SC*
et le second facteur a évidemment une valeur absolue inférieure à l'unité. D'autre part . l'équation rentre dans un type élémentaire classique, en regardant .r comme fonction de y, et l'on obtient facilement l'intégrale générale
y = C — y C -+- x* ( C constante trbitraire). Donm ane valeur positive, el prenant la détermination positive du
II. — Sur une propriété importante de la méthode de Cauchy-Lipschitz.
7. Avant d'indiquer une propriété importante de la méthode de Cauch y, faisons une remarque préliminaire relative à la continuité de l'intégrale. Nous avons considéré l'intégrale de l'équation
prenant pour x = x0 la valeur y0. Si l'on prend comme valeur initiale une valeur y'0 très voisine de y0, on aura une intégrale très voisine de la précédente. La chose est presque évidente; pour le démontrer, cherchons d'abord la différence des valeurs obtenues, quand on a partagé, comme plus haut, l'intervalle x0x par les points de subdivision
en prenant successivement pour valeurs initiales y0 ety0. On a les deux systèmes successifs d'équations
y\ — 7o = Oi~ ^o)/(^o, JKo), yi— y\ =(^-ari)/(^iJiJ,
avec
y\— jk'o =(^-^)/(^o,/'o)) y'i — y\ =(^2— ^i)/(^i,yi), • ■>
y' —y'v-l = (x — a?ifc-i:)/(ap»-i, r«-i)- On a donc
et, par suite,
I 7 —7' I < I J^-i-/„-, 1 [i -+- k\â - xn-i)\.
radical. Quelle que soit la quantité positive C, l'intégrale y s'annule pour x = o. L'équation différentielle ci-dessus a donc une infinité d'intégrales s'annulant pour x = o. La condition de Lipschitz n'est pas remplie ici dans un domaine ( — a, + a ), ( — 6, -\-b) comprenant x = o, y = o.
On a de même
\yn-i—yit-i I < | r/i-a — y'n-î I fi-*- k(xn-x — a?„..s;],
et ainsi de suite. En multipliant ces diverses inégalités membre à membre, on a
I y — y'\< | yo — y'0 1 e*t*-*J.
Soient, d'autre part, Y et Y' les deux intégrales de l'équation prenant respectivement pour x = x0 les valeurs y0 e%y'Q. D'après ce qui a été vu au paragraphe 3, on a, X ayant la signification de ce paragraphe,
et
On a donc
lY'-.r'l< ^£ [*«*-*•>— i].
Or, X est aussi petit que l'on veut, si la subdivision a été poussée suffisamment loin. Donc, si | y{) — y\ | est pris suffisamment petit, on voit que | \ — Y' | sera aussi petit que l'on voudra, ce qui établit la continuité annoncée des deux intégrales Y et Y' correspondant aux valeurs initiales y0 et y' .
8. Nous sommes maintenant en mesure d'indiquer une propriété (■) de la méthode de Cauchy, presque évidente en ellemême, mais qui présente un certain intérêt, surtout quand on la rapproche de quelques travaux récents sur les développements en séries de diverses fonctions. Soient toujours l'équation
dy r,
et considérons L'intégrale ^ prenant pour x = xq la valeur y0.
(l) ï ai indiqué cette propriété dans une Note s//r le* développement* m teries de* intégrale* de* équations différentielles parla méthode dr Cauchy npte* rendus^ 5 juin 1899). M. Painlevé arait, de son côté, fail la même remarque, comme il l'a indiqué dans les Comptes rendu* 19 juin 1*90).
36*2 CHAPITfiE XI.
Supposons que, x croissant à partir de %0, Y soit continue tant que x ne dépasse pas x0-\- h, et que, de plus, pour chacune dos valeurs (#, Y) correspondant à notre intégrale, la fonction f ne cesse, pour un petit domaine autour de [x, Y), de remplir les conditions de Lipschitz indiquées au paragraphe 1. Dans cette hypothèse, prenons un point x entre x0 et x0-\-h et partageons l'intervalle x0x par les points #,, #2, ..., xn^ de manière à avoir la suite
3?0i #lj ^"25 •••i «^n— ij #•
Soit d'une manière générale Y/ la valeur de notre intégrale pour x = Xi', on peut, d'après nos hypothèses, prendre les intervalles assez petits pour que dans chacun des intervalles
Xi, X
l-hl
la méthode de Cauchy soit applicable et que l'intégrale de l'équation prenant la valeur Y/ pour x = xt puisse être donnée par cette méthode. Ces conditions remplies, les intervalles précédents vont rester fixes.
Imaginons alors que l'on fractionne chacun des intervalles précédents ; l'intervalle (x0x) sera alors partagé par des subdivisions comprenant les Xi et d'autres points de subdivision, et soit désigné par x' ce mode de subdivision. Pour cette subdivision, formons directement les équations aux différences, dont l'emploi caractérise la méthode de Cauchy, et cela depuis xQ jusqu'à x. On se rend compte aisément que les valeurs des y auxquelles conduiront les différences successives resteront dans le champ où f(oc,y) est définie, si la subdivision x' a tous ses intervalles assez petits. En effet, tout d'abord en xt, on trouve une valeur Y", très peu différente de Y, ; ensuite, quand on arrive en x2, on trouve une valeur très peu différente de l'intégrale de l'équation qui prend en xK la valeur \'K et, par suite, très peu différente (d'après le paragraphe précédent) de l'intégrale qui prend en x{ la valeur Y,, c'est-à-dire de Y2. On peut aller ainsi de proche en proche (n étant fini), et finalement, quand on arrive en x, la valeur donnée au moyen des équations successives aux différences, diffère très peu de la valeur Y de notre intégrale, cela, bien entendu, sous la condition que tous les intervalles correspondant aux x' soient suffi-
samment petits. Ecrivons la subdivision
il résulte de ce qui précède que les équations successives
y\ —y\ = (A — ^i)/0*ii y\ ).
y —y'n'-\ = O ~a?k'-r)/(a?«'-i,ji'-i),
donnent pour y' une valeur très peu différente de Y. La méthode de Caucliy est donc valable dans tout V intervalle x0x, où Vintégrale est continue, avec la condition imposée en plus ci-dessus àf(Xy y). Elle donne dans cet intervalle une valeur approchée de l'intégrale, et il est clair que \ y' — Y| est inférieur à tel nombre que Ion voudra, si chacun des intervalles x' est assez petit, cela d'ailleurs quel que soit x dans l'intervalle (x0, x0-\- h'), où h' est inférieur au nombre // dont il a été parlé plus haut.
Supposons, par exemple, que l'intervalle (x0, x) ail été partagé en n parties égales. Pour n assez grand, les équations aux différences conduisent à une expression
ri I on peut prendre (x assez grand pour que dans tout l'intervalle
(x0, xQ -f- //') on ail, pour // r' u,
z étant une quantité donnée à l'avance, aussi petite (pie l'on voudra.
arrivé à ce point, nous pouvons, m nous voulons, représenter aotre intégrale ï par une série. Reprenons en effet L'expression \\{.r). ei donnons à n0 une valeur fixe suffisamment grande'.
Posons alors
jn x I = Pn.Car), ./' . , i • -- \\n^(.r)— P
Li férié
/„(■'-, ■ J ■ . .. fn\ r)-h...
est uniformément convergente dans ('intervalle , l h r)«
En effet, la somme de ses n — n0-\-i premiers termes est égale à P„ (#), et, par suite, pour w^jjl, cette somme différera de Y de moins de e, et cela dans l'intervalle considéré; ce qui établit la convergence uniforme.
9. Les résultats précédents s'appliquent manifestement au cas d'un système d'équations
— = ¥t{x,yuy^ ...,yp) (i = i, 2, ...,p),
la fonction F; satisfaisant aux conditions de Lipschitz, comme il a été dit au paragraphe 5.
10. Arrêtons-nous un moment sur un cas particulier. Soient les p équations simultanées du premier ordre
(3) —^ ■ =Xi(xu xt, ..., xp) (i= i, 2, ..., p),
où les X sont des polynômes en x, et considérons les intégrales prenant pour t = o les valeurs x°t, x°2, . . . , x°.
Les conditions de Lipschitz sont évidemment vérifiées ici, tant que les valeurs absolues des x restent moindres qu'un nombre fixe. D'ailleurs, les équations aux différences de la méthode de Cauchy donneront de proche en proche, si nous partageons l'intervalle
en n parties égales, des polynômes en t. Donc les x pourront être représentés par des séries dont les termes seront des polynômes en t. Ces développements seront convergents tant que les intégrales x correspondant aux conditions initiales x\, x2l • • . , x° (pour t = o) seront des fonctions continues de t. On peut ajouter que les termes de ces séries sont aussi des polynômes en #J,
Js.2 , . . . , O/ p.
Le résultat préeédent est intéressant, mais, malheureusement, il n'a, en général, qu'un intérêt théorique, car il semble bien difficile de déduire de ces développements quelques renseignements sur le champ de la variable t, où les intégrales restent continues. Dans certains cas particuliers cependant, on peut tirer
parti très utilement des remarques précédentes ; nous allons en donner quelques exemples simples.
11 . Supposons que, pour les équations de la forme (3), quelque considération soit susceptible d'apprendre que les \x\ restent toujours inférieurs à un nombre fixe. Sous cette condition, les intégrales considérées se trouvent définies autour de toute valeur de t dans un champ fixe, et l'on a alors des développements en séries de polynômes valables pour toute valeur de t.
Un exemple intéressant de la circonstance précédente sera fourni par les équations du mouvement d'un corps solide pesant mobile autour de l'origine O. Les équations classiques de ce problème peuvent s'écrire
I \c£ =(B - C)qr-+-Mér(y0f-zQï), *L=n'-q-f,
(4) |B.â=(C-A)/p + Mj>(*0Ï -*oïff),. %=Pi'-n,
I dr dy"
\ Cdt = (A — B)frçr-+-Mtf(a?oY' - yoY). -57 =/>T— />ï\
où p, (/, r désignent les composantes de la rotation instantanée sur les axes d'inertie du point O, et y, y', y" les cosinus directeurs de ces axes avec la verticale; A, B, G sont les moments d'inertie, (x0,y0, z-o ) représentent les coordonnées du centre de gravité par rapport aux axes d'inertie et M;? est le poids du corps. Nous avons là six équations différentielles du premier ordre en />, <jy r, y, y', y". On a d'abord l'intégrale première
Y* H- v'2-+- v"2= const.
Dans le problème qui nous occupe, la constante doit être prise égale à un) écrivons donc
Une seconde intégrale première est fournie par 1«' théorème <]< !s forces \i\ es el s'écrit
!/>*-+- B^-4- Cr*—- 7.M^(^oY -*-Joï ■+■ *oY*) = /}»
h h. mi une constante arbitraire. Des deui équations précédentes)
il résulte de suite que, pour des conditions initiales données (évidemment réelles), les valeurs absolues
restent moindres qu'un nombre fixe. Nous pouvons donc appliquer ce qui vient d'être dit, et nous arrivons à la conclusion que, pour le système (4), on peut développer p, q, /-, y, y' et y" en séries de polynômes convergentes pour toute valeur du temps t.
12. Un exemple plus général sera fourni par un type d'équations dont M. Volterra (')a montré l'intérêt dans certains problèmes de Dynamique. Ce sont les équations
dp, dt
= 22 a^kPrPk (S = *' 2' * ' '' n)'
où les constantes a satisfont aux conditions
asJc~ — ak,s>
On a alors l'intégrale première
p\ -h/>| ■+-. . . -t-/> \ = const.
Il en résulte que les p restent moindres qu'un nombre fixe. Par suite, on aura encore des développements des intégrales en séries de polynômes, valables pour toute valeur du temps.
13. Dans les exemples des deux paragraphes précédents, les seconds membres étaient des polynômes. Notre remarque peut s'appliquer encore dans d'autres cas. Soient, plus généralement les équations
-~ = F/Oi, 3?2, ..., Xp) (*•== I, 2, ...,/>)>
les F étant des fonctions définies pour toutes valeurs des x. Supposons que l'on ait pu démontrer que, pour un système d'intégrales déterminé par certaines conditions initiales, les valeurs
(') Volterra, Sopra una classe di equationi dinamiche {Atti délia R. Accademia di Torino, 1898).
absolues des F restent toujours moindres qu'un nombre fixe, quand à la place des x on met les fonctions de t correspondant à ce système. Admettons de plus que,
Ut ç*. •••> ?
ÏP
désignant ce système d'intégrales, on puisse déterminer une quantité fixe (c'est-à-dire indépendante de t) b, telle que les fonctions des x
F»(a?i, a?», M.,«p) • (i = i, 2, ...,/>) restent moindres qu'un nombre fixe M, quand
• h— b < x,< fr-hà (t = i, 2, ...,/?)
et satisfassent à la condition de Lipschitz.
On sera assuré, dans ces conditions, que le système d'intégrales envisagé est défini autour de toute valeur de t dans un champ fixe
de longueur — > et par suite, en allant de proche en proche, le
système d'intégrales est défini pour toute valeur de t.
La remarque générale faite plus haut sur la méthode de Cauchy- Lipschitz, appliquée dans l'intervalle (o, t) partagé en n parties égales, nous donne le système d'intégrales prenant, pour t = o, les valeurs a?J, a?J, .. ., x\ sous la forme de séries convergentes pour toute râleur de t] ces développements seront uniformément convergents dans tout champ fini de la variable t.
Comme application, considérons p points se repoussant deux à deux en raison inverse de lu y."""' puissance de la distance (|a> i); v ce problème ;i été examiné, à un autre point de vue , par M. Volterra. En désignant par /y// la masse du point M/, nous avons les équations
<lr, , dx't r\? mh(xh— x,)
dt
<lx, \^ m,l(x,,— Xi)
en désignant par /•/,/, la distance des points M; et M^> et y étant un coefficient positif, avec des équations analogues ponr les y et les z. Or le théorème des forces vives donne
> ml(xfl%+yi*-irz,l*) zr"^j2j~~r (O étant une constante >
11 résulte de là que, pour des conditions initiales données par suite, pour une valeur de la constante C, les |^-|, les |y;|/et les | z\ :| restent inférieurs à un nombre fixe, et les /*a* supérieurs à un nombre fixe, toutes les conditions, postulées ci-dessus, sont vérifiées; car, les points M; et M^ restant à une distance supérieure à un nombre fixe, on peut trouver un nombre fixe b répondant à la seconde condition. Les seconds membres des équations resteront donc moindres qu'un nombre fixe M. Donc, les équations différentielles du problème de p points se repoussant en raison inverse de la ]j}ème puissance de la distance (\k ^> i) s'intègrent par des séries convergentes pour toute valeur de t.
III. — Démonstration de l'existence de l'intégrale par une méthode d'approximations successives.
14. Indiquons une autre méthode pour établir l'existence des intégrales des équations différentielles ordinaires ('). Nous envisageons, comme plus haut, en changeant seulement un peu les notations, le système des n équations du premier ordre
du
dv '
-j- =/2(ar, u, V, ..., w),
dw .
-£7 =fn(v, U, V, ..., w).
Les fonctions f sont des fonctions continues réelles des quantités réelles -a?, w, v, . . ., w dans le voisinage de x0, u0, e0, • • -, «V Elles sont définies quand #, w, ?, ..., w restent respectivement compris dans les intervalles
(x0— a, «0+fl)> (u0— b, u0-+- b), ..., (w0— b, w0-)- b),
a et b étant deux constantes positives.
De plus, on suppose que l'on puisse déterminer n quantités
(l) J'ai indiqué pour la première fois ces considérations dans mon Mémoire du Journal de Mathématiques (1890). — Voir aussi E. Lindelôf, Comptes rendus, 26 février 1894, et Bendixon, Académie de Stockholm, novembre 1893.
THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 36t)
positives A, B, . . ., L, telles que
\fi{x, u\ v', ..., «•')— .//(*, u, p, . .., w; |
.r ainsi que les w, p, . .., w restant dans les intervalles indiqués. On voit que ces hypothèses sont celles que nous avons faites en étudiant la démonstration de Cauclvy.
15. Ceci posé, nous allons procéder par approximations successives.
Considérons d'abord le système
■fa =fl{X< U0i t>0i ..., W0), ..., -fa- =fn(x, U0, i>0, ..., W0),
nous en tirons, par quadratures, les fonctions ut, v{, . .., (v<, en les déterminant de manière qu'elles prennent pour x0 les valeurs u0, p0, . . ., w0. On forme ensuite les équations
dut. , dw2
-fa = /iO> uu i>u . .., w,), ..., — = /„(#, uu çu ..., «>,),
et l'on détermine ï/2, fa, . . ., vp2 par la condition qu'elles prennent respectivement pour x0 les valeurs u01 v0, ..., w0. On continue ainsi indéfiniment. Les fonctions ?/,„,, Pm-iH •"*••? wm-\ seront liées aux suivantes um, vm, . . ., wm par les relations
du m >
et, pour je = a;0, on a
Nous allons établir que, m augmentant indéfiniment, //,„, r,„, .... n'a, tendent vers des limites qui représentent les intégrales cherchées, pourvu que x reste suffisamment voisin de x0.
Soit M la valeur absolue maxima des fonctions/*, quand les variables dont elles dépendenl restent dans Les Limites indiquées. Désignons par p une quantité au plus égale à a : si x reste dans
l'K SUD. — It.
l'intervalle (x0 — p, #0r4-p), on aura
|"i— w0|<Mp, ..., | w{— w0\ < Mo,
Par suite, si Mp <^ 6, les quantités ui1vti . . ., w{ resteront dans les limites voulues, et il est évident qu'alors il en sera de même pour tous les autres systèmes de valeurs w, p, ..., w. Désignant par à une quantité au plus égale à p, nous allons supposer que x reste dans l'intervalle (x0 — 8, x0 -f- ô).
En posant
Um — U,n-i = Uw, . . . , W m — Wm-i = Wm,
on peut écrire dU
Or on a tout d'abord
| ut — u0\ <M\x — x0\, ..., | wi— w0\ < M | x — x0\}
comme le montrent les relations
d(ii\ — u0)
dx
d{wx — Wo)
= fn(x, u0, . .., w0).
dx Il en résultera, d'après les équations (5), pour m = 2,
r«i|< I |ar — a?0| M(AH-B-4-...+ L)rfo7
pM(à + B + .;.+ L)"
et cette limite convient aussi pour \v2 — v{ |, . . ., | w2 — W\ |. Les équations (5), pour m = 3, donnent alors
»'g-^',<fa
[a? — a?ol8<
THÉORÈMES GENERAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3j I
En continuant ainsi, on a d'une manière générale
X Xq
Or la série de terme général
(A-T-...-+- L)»-* | x — xQ\'1 i . ï . . . n
est convergente. Par suite, la série
sera uniformément convergente dans V intervalle
0 étant la plus petite des deux quantités
et l'on a des résultats analogues pour les lettres v, . . ., w. On a d'ailleurs
Un= / /lO, M«-l, .... \Vn-X)dx -h K0,
et puisque j/„, r„, ••-, wn convergent uniformément vers leurs
limites
on peut passer à ta limite, et l'on a
u = / f\ (/;, h, • • • , w) ûte -+- w0. On arrive donc enfin à L'équation
et de même pour 1rs autres équations. Les fonctions u, v w
sont donc les intégrales cherchées] elles sont définies dons V intervalle (7).
