En modifiant un peu les raisonnements précédents, M. E
Lindelôf (') a montré qu'on pouvait avoir, dans certains cas, une limite plus étendue comme domaine assuré pour l'intégrale.
En effet, l'intervalle convenable autour de #0, dans lequel doit rester la variable #, se trouve uniquement assujetti à la condition que les valeurs des a, v, ..., w, déduites des approximations successives, soient comprises respectivement dans les intervalles
Or, en reprenant les calculs qui nous ont conduit à l'intégrale (6) du paragraphe précédent, on voit immédiatement que, dans ces calculs, M peut être remplacé par M0, en désignant par M0 la plus grande valeur absolue des fonctions de x
fi{x, M0î ?0, ••-, Wo),
quand x reste dans l'intervalle (x0 — a, x0-{-a). Ecrivons donc
| un— utl-A | < M0( A -+- B -4-, . .-+- L)«-i '
On en déduit l'inégalité
Wn Uq i < M0 | x - x0 1 + M0K \x~x^ +.. . .+ M0K«-i l*"^!"
ce que l'on peut encore écrire
Mo K
< -JL<éKl.*~*e)--l),
Si donc
^2 [eK!-*-*ol i]<A K .
ou
x0|<llog(n-g)
Wrc sera compris dans l'intervalle (u0 — 6, u0-\-b), et il en sera de même pour vn, . . . , <v„, Par suite, le système des intégrales w, p, . . ., w sera certainement défini dans V intervalle
Oo— S', ^o+ o'),
(') E. Lindeluf. Sur V application des méthodes d'approximation successives à l'étude des intégrales réelles des équations différentielles ordinaires (Journal de Mathématiques, 1 894 ) -
en désignant par V la plus petite des deux quantités
a et k'°h,+ m;J'
Nous avons ici un intervalle distinct de celui de tout à l'heure,
qui était
o désignant la plus petite des deux quantités
M a et -=- •
Il est clair que, dans certains cas, 8' peut être supérieur à o. Par suite, dans l'hypothèse, qui peut être réalisée, où l'on a
la limite o' est intéressante, et l'on a avec elle un champ plus grand qu'avec la limite o trouvée plus haut.
17. Arrêtons-nous un moment sur un cas particulier, où la méthode d'approximations successives qui précède sera d'un emploi très simple. Admettons que les fonctions f soient finies et bien déterminées, quand x reste dans un certain intervalle I, et quand y,, y -.,, . . ., yn varient entre — oo et +00. De plus, les dérivées partielles du premier ordre, dont nous admettons maintenant V existence,
restent, je le suppose, toujours moindres en valeur absolue qu'un nombre fixe N, quand x reste dans \, et quand les y varient entre — co et -f~oo«
Dans la détermination de l'intervalle dans lequel doit rester x, nous n'avons pas ici à considérer la seconde expression (soit 0, soit 0'). En effet, celle-ci s'est introduite dans La méthode des approximations successives, par La nécessité que les y ne sortent pas du champ dans Lequel les fonctions f sonl définies; or, ici ce champ est illimité. D'autre pari, les nombres désignés plus haut par A L sonl actuellement i<»us moindres que N, quels que
soient les)'. Par suite, tout Système d'intégrales, prenant, pour
la valeur xê0 de l'intervalle I, des valeurs finies quelconques jJ,/J, . . . , y\, reste certainement fini et bien déterminé dans tout V intervalle I.
Pour citer un exemple, prenons l'équation du second ordre
jjZ = Y> (x)y + Q(x) s\ny + R(x),
où P, Q, R sont des fonctions continues de x dans un intervalle I; on peut affirmer que toutes les intégrales de cette équation sont déterminées et restent finies dans I. L'équation précédente est en effet équivalente au système
7è=r'' '~dx = p(*Xr-f-Q(*)sin.r + R(*),
qui rentre évidemment dans les conditions ci-dessus.
IV. — Cas où les équations sont analytiques; sur le calcul des limites de Cauchy.
18. Les méthodes développées jusqu'ici ne font que des hypothèses très générales sur la nature des fonctions f supposées réelles. En supposant que ces fonctions sont des fonctions analytiques des lettres dont elles dépendent, Cauchy a indiqué un type de démonstration dont nous allons maintenant nous occuper. L'illustre géomètre a donné le nom de Calcul des limites au principe fondamental de comparaison qui joue le rôle essentiel dans cette méthode. Le nom n'est pas bien heureux, mais l'idée est réellement féconde : elle peut être appliquée, et de la manière la plus variée, à d'autres questions qu'à celle qui nous occupe actuellement ( ' ).
Briot et Bouquet et M. Méray en France ont simplifié notablement les démonstrations de Cauchy fondées sur le Calcul des limites, et, en Allemagne, M. Weierstrass a fait usage aussi des mêmes principes d'une manière un peu différente.
(') Dans les Œuvres complètes de Cauchy, ire série, t. VII, on trouvera un grand nombre d'articles des Comptes rendus se rapportant au Calcul des limites.
19. Nous allons suivre Briot et Bouquet dans l'exposition de la démonstration ('). Prenons d'abord une seule équation
La fonction f(jo, y) est supposée holomorphe dans le voisinage de x0 ely0. On peut supposer évidemment, en faisant un changement de variable, que x0 = y0 = o. La fonction /(#, y) sera donc holomorphe par rapport à x et à y quand x et y seront respectivement à l'intérieur des cercles C et G' décrits des points x = o etj' = o comme centres avec les rayons a et &, et on la suppose continue sur les circonférences elles-mêmes. Nous appellerons M le module maximum de la fonction/ dans ce domaine.
Si l'équation (5) admet une intégrale holomorphe dans le voisinage de x = o et s'annulant pour cette valeur de la variable, elle sera unique et l'on pourra obtenir, au moyen de l'équation
différentielle elle-même, les valeurs des dérivées successives •—-%
dx
-r^> '" pour x = o. Il suffit de différentier l'équation (5), d'abord
d1 y une fois, pour avoir -j^» et de substituer dans le second membre
x = o, y = ° î en difFérentiant une nouvelle fois, on aura -H? et
' J dx3
ainsi de suite. Nous pourrons donc former le développement
Le point essentiel, dans la démonstration, consiste à faire voir que le développement ainsi obtenu converge si x a un module suffisamment petit. Ce point une fois établi, il est bien clair que la fonction y ainsi définie satisfait à l'équation différentielle, puisque les deux fonctions de x,
d£ et s(r- ' ■■•
ont, d'après la manière même dont va été obtenu, la même valeur
(') Briot et Houqukt, Journal de l'École Polytechnique, t. X\I. et traité fonction* elliptiques, p. fon
pour x = o ainsi que leurs dérivées de tout ordre; elles coïncident donc, c'est-à-dire que l'équation (8) est vérifiée.
C'est en comparant l'équation proposée à une autre que nous allons pouvoir établir la convergence de la série (9), et l'idée d'une telle comparaison forme ce qu'il j a de réellement intéressant et fécond dans ce que Gauchy appelait le Calcul des limites.
Rappelons que, étant donnée la fonction /(a?, y), on peut trouver une fonctjon F(#, y) holomorphe dans les mêmes cercles G et T et dont les dérivées partielles, toutes positives pour x = y = or sont telles que
dx11 dyi
, ô'^pF n
0 \dxridyP J x = 0
c'est ce que nous avons vu (Chap. IX, p. 277); entre autres déterminations de F, nous avons indiqué
Ceci posé, considérons l'équation différentielle auxiliaire
dX
Admettons qu'il existe une intégrale Y de cette équation, holomorphe dans le voisinage de x= o, et s'annulant pour x = o. On aura, pour Y, le développement
(IO) Y = (-j-) X H ( -r-T 3?2-f-...= A, 37 4- A90?2-|-
\dx ) 0 \.'2\dx'i/o
Les coefficients des puissances de a? dans ce développement sont positifs, et, d'après les inégalités (a), on aura visiblement
Le développement (9) sera donc certainement convergent dans
le champ où converge le développement (10). Or il est facile de
démontrer directement l'existence de la fonction Y. Ecrivons
l'équation
dY M
dx / x \ l Y
THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3j7
sous la forme 9
Y \ dX M
b ) dx x
Si la fonction Y existe, les deux membres sont respectivement les dérivées de
Y 7- et — MalosM— -
ib °\ a
Nous prendrons la détermination du logarithme s'annulant pour x = o, détermination holomorphe dans le cercle de rayon a. Comme Y s'annule pour x — o, on devra avoir
Y— ~ = — Ma\og(i— ib °\ a
et, par conséquent,
en donnant au radical la détermination -f- i pour x = o.
La fonction Y, ainsi définie, satisfait à l'équation -7— = F( j?, Y) ;
elle s'annule pour x = o, et elle est holomorphe à l'intérieur d'un cercle ayant l'origine pour centre, et un rayon p annulant la quantité placée sous le radical, c'est-à-dire donné par l'équation
?. M fl / p \
ce qui donne
p = a\\— e iMfl
Nous sommes donc assuré que le développement (10) converge à l'intérieur du cercle de rayon p ; il en est donc de même du développement (g), et, par suite nous pouvons affirmer que V équation (8) admet une intégrale liolomorphe dans le cercle de rayon p ayant V origine pour centre, et s'annulant pour x = o. Cette intégrale holomorphe esl unique.
On remarquera qu'à L'intérieur du cercle de rayon p on a certainement
on a donc, par conséqnent,
à l'intérieur du même cercle.
20. L'analyse précédente s'étend sans modification au cas de n équations
On suppose que les f sont holomorphes par rapport à x et aux y dans les cercles de rayon a et b décrits respectivement à l'origine comme centre dans le plan des x et des y. Si, de plus, M désigne encore le module maximum des f, on comparera ce système au suivant
dx dx dx
F(x, Yt, Y2, ..., Ya) =
-ïK-î):-(-*
Les Y s'annulant tous pour x = o sont identiques, et l'on n'a à considérer que l'unique équation
dY M
dx / x\ / Y \ « a I \ b
Le rayon p du cercle, dans lequel la convergence des développements est assurée, sera ici
On le voit en raisonnant comme plus haut.
THEOREMES GENERAUX SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 079
V. — Extension de la méthode des approximations successives et de la méthode de Cauchy-Lipschitz au cas des variables complexes. Sur l'étoile correspondant à certaines équations différentielles (1j.
21. La méthode des approximations successives est susceptible de s'étendre au cas des équations analytiques et elle va nous donner un champ assuré de convergence, plus grand que celui qui vient d'être fourni par le calcul des limites. 11 n'y a presque rien ■en effet à changer à l'analyse du paragraphe 14. Bornons-nous, pour simplifier l'écriture, à une seule équation
dx *}*>?''
Ici y (a?, y) est holomorphe par rapport aux deux variables complexes x et y, quand x reste dans son plan à L'intérieur d'une circonférence G ayant x0 pour centre et le ravon a (et sur cette ■circonférence même) et que y reste dans son plan à l'intérieur d'une circonférence G' ayant y0 pour centre et le rayon b (et aussi sur cette circonférence). Désignons par k le maximum du module de
dans les cercles G et C'. En désignant par y{ et y2 deux valeurs quelconques dey à l'intérieur de G', on a
en appliquant le théorème des accroissements finis, tel qu'il ;i été -étendu par M. Darboux aux fonctions d'une variable complexe {t. I, p. 5 i ). De l'égalité précédente on conclut
\f(*,r*)-A*,yi)\é*\y*-ytl
Désignons encore par M le module maximum de fCx, y) dans ei sur G el ( >'.
(') J';ii développé les considérations qui bu i vent daoi fc Bulletin rien Sciences mathématiqu 8, el dans lei Compte* rendu* (a6 février 1894). KoirauisJ
ma N<»tc déjà 1 itéc | Compte* rendus, 5 juin 1899).
Toutes les déductions du paragraphe 14 sont alors applicables au cas qui nous occupe. En considérant, comme précédemment, les équations successives
nous obtenons la série
Le terme général de cette série est une fonction holomorphe
dans le cercle Y de rajon 8, en désignant par S la plus petite des
deux quantités
b a et M*
et, en raisonnant comme plus haut, on a à l'intérieur de ce cercle
kn\x — #0 \n
\yn — yn-\\ <
Dans ces conditions, la série S, dont chaque terme est holomorphe dans le cercle T, représentera une fonction holomorphe dans ce cercle, comme il résulte d'une remarque générale faite précédemment (p. 1 58) .
L1 équation proposée
admet donc une intégrale prenant pour x = xQ la valeur y0, et holomorphe dans le cercle dont le rayon est la plus petite des deux quantités
b a el M
11 est bien aisé de voir que ce nouveau rayon de convergence assurée, pour la série de Tajlor représentant l'intégrale holomorphe, sera supérieur à l'expression
que nous a donnée le calcul des limites. La chose est évidente, si c'est a la plus petite des expressions a etr.- Dans le cas où ce
serait -tt» nous avons à vérifier l'inégalité
Al
ce qui revient à voir que, pour x positif, on a
i — e~x < 2 x, inégalité manifestement vérifiée.
22. La méthode de Cauchy-Lipschitz est susceptible aussi de s'étendre aux équations analytiques et aux fonctions de variables complexes. L'analyse du paragraphe 3 s'étend, sans modifications sensibles, en substituant seulement aux valeurs absolues les modules. Il est inutile de reprendre les calculs. La conclusion est la suivante : Considérons, dans le plan de la variable #, le cercle Y ayant pour centre x0 et un rayon égal à la plus petite
des deux quantités
b a et — • M
Soit un rayon partant du point x0 ; on peut, en cheminant sur ce rayon, former les équations successives aux différences, et, sur ce rayon, on obtient une intégrale de l'équation
prenant pour x0 la valeur y0. Pour chaque point x à l'intérieur de T, nous déterminons ainsi une valeur pour y, relative en quelque sorte au chemin recti ligne ocQx. La succession d('s râleurs ainsi trouvées pour y coïncide-t-elle avec ht fonction holomorphe trouvée <m paragraphe précèdent? C'est ce <ju<* nous allons facilement établir. Lu effet, sur un rayon déterminé , l'analyse du n° 0 relative à Y unicité <!<• La solution est encore applicable ; L'équation différentielle
sur us rayon déterminé, a donc une seule intégrale prenant pour
x = xQ la valeur y0. 11 en résulte bien que la méthode de Cauchy- Lipschitz nous donne la même intégrale que la méthode des approximations successives.
23. La remarque fondamentale du paragraphe 8 est aussi applicable au cas actuel. Sur une droite déterminée partant d un point #0, la méthode de Cauchy-Lipschitz est applicable à V intégrale prenant en x0 la valeur y0 tant que cette intégrale ne cesse pas d'être holomorphe.
Prenons, en particulier, les équations considérées au paragraphe 10
fl OC '
-^ =X/(a?f, a?2, ..., xp) (i = i, 2, .. M />),
où les X sont des polynômes en x.
Envisageons le système d'intégrales prenant pour t = t0 les valeurs x\: x\, . . ., x\ J. En joignant le point t0 au point variable t, et partageant l'intervalle t0 1 en n parties égales, on arrivera, comme plus haut, à représenter les intégrales x par des séries dont les termes sont des polynômes en t (et aussi en a?J, x2, . . ., A p)-
Quelle sera la région de convergence de ces séries? Elles convergeront, tant que les intégrales envisagées resteront holomorphes sur le rayon allant de t0 en t. Elles seront donc convergentes dans le domaine que M. Mittag-Lejfler appelle une étoile, et dont nous avons déjà parlé (p. i63). On voit que, dans le cas des équations différentielles de la forme précédente, les développements de M. Mittag-Leffler se déduisent tout naturellement du procédé élémentaire et classique de Cauchy pour démontrer l'existence des intégrales.
24. On pourra souvent obtenir de cette manière des développements de fonctions en séries de polynômes. Prenons comme
exemple la fonction
Elle satisfait à l'équation différentielle
dx
ÉL~y>.
Donc, d'après ce qui précède, la fonction précédente peut être développée en une série de polynômes
P, (x) -f- Pt(x) +. . . h- Pn( j?) -+-. . . ,
uniformément convergente à Vintérieur de Vétoile relative à cette fonction.
Or l'étoile relative à la fonction
est manifestement le plan tout entier à l'exception de la coupure (-r-ijH-oo) sur l'axe des cpiantités réelles. Nous avons donc un développement uniformément convergent dans toute aire finie, n'ayant aucun point commun avec la coupure précédente. Ainsi se trouve établi le résultat sur lequel nous nous sommes appuyé (p. 1 63) pour démontrer le théorème relatif à l'étoile de M. Mittag- Leffler(').
Voici d'ailleurs comment on pourra former explicitement le
développement de en série de polynômes. A l'équation
dy = , dx y
on substitue, d'après la lliéorie générale développée aux nGS 21 et 22, une équation aux différences. Soit x un point qui ne soit pas sur La coupure (H- i , — |— oo). Nous partageons le segment reclili^m' allant de l'origine à #, en n parties, et nous avons
y*— 72= -yl>
yn — yn-i= - J/2,-,
(') Beaucoup d'autres méthodes >>ni été proposée! pour obtenir le développe*
' de dans son étoile: une des plut élémentaires est celle de M. Goursal
{Bulletin des Soiencei nmthématiquetf 1903).
On tirera de là un polynôme yn en x; cherchons le degré pn de ce polynôme. On a manifestement, en désignant par p,, p2, .*.-,' p„ les degrés respectifs de y , , y2 , . . . , yn,
Pi= 2/>i-+-i,
Pn-\= ipn-î->r I, Pn — 2pn-i-hl.
De là se tire de suite
pn = i -+- a -+■ . . . ■+■ 2"-1 = 2" — i .
Une approximation de dans toute aire intérieure à l'étoile,
aussi grande que l'on voudra, peut donc être obtenue à l'aide d'un polynôme fn(x) de degré in — i (en prenant n suffisamment grand).
VI. — Détermination unique d'un système d'intégrales par les valeurs initiales.
