Reprenons le système de n équations
dx
dy±
dx
dyi /• / v
dyn f / v
Nous avons vu que, si les f étaient holomorphes dans le voisinage de x0l yj, y\, . . . , jr°, il y avait un système unique d'intégrales holomorphes dans le voisinage de x0 et prenant pour cette valeur les valeurs respectives yj, y\, . . . , y °.
Existe-t-il un autre système d'intégrales non holomorphes prenant les mêmes valeurs pour x ±= x0^ Par un tel système nous entendons un système d'intégrales yK , y2, . . . , yn jouissant de la propriété suivante :
On imagine qu'autour de x0, yj, . . . , y ° on décrive des cercles de rayons très petits, et l'on suppose que, x restant à l'intérieur du
premier en suivant un arc de courbe C aboutissant au point x0, les valeurs correspondantes des y restent respectivement à 1 intérieur des autres cercles; de plus, quand x restant sur C tend vers ,z0, les y tendent respectivement vers les y°. Ayant ainsi bien défini ce que nous entendons par intégrales prenant des valeurs données pour x=xQ, nous pouvons chercher à établir que le système d'intégrales holomorphes est le seul jouissant de la propriété précédent»-.
Dans le Mémoire que nous avons déjà cité, Briot et Bouquet établissent ce théorème en se bornant d'ailleurs au cas den = .i. De plus, et c'est le point sur lequel je veux insister, leur démonstration suppose implicitement que x tend vers / „ en suivant un arc de longueur finie. Si l'on admet cette restriction, la démonstration pour le cas de n quelconque peut se faire en suivant la marche indiquée dans le cas où x est réel (n° 6). En effet, toutes les considérations développées dans la première Section de ce Chapitre peuvent être étendues au cas où l'on admet que x rote sur un arc fini aboutissant en x0. Nous nous placerons maintenant à un point de vue différent sans faire aucune hypothèse restrictive dans la démonstration; nous parviendrons au théorème cherché en nous appuyant sur le théorème fondamental relatif à l'existence des intégrales dans la théorie des équations aux dérivées partielles ( ' .
