Soit d'abord l'équation unique

Nous considérons L'équation aux dérivées partielles

d¥ . dV

- — h /( x. ri-— = o.

Il y a une infinité de fonctions F (a?, y) des deux variables indépendantes x et ) . vérifia ni cette équation. Si, comme nous le supposons, /*(#, y) est Qolomorphe dans l«- voisinage de .r„. y0% nous établirons dans un momenl qu'on peu! trouver une fonction

l'ti donné plusieurs fois dans mon C< urs la démonstration qui suit, ei ir l .n publiée pour la première fois dam la première édition de cel Ouvi

PICAI

>t>6 chapitre xr.

f (a?,/) holomorphe dans le voisinage de (j?0, yQ) satisfaisant à cette équation et se réduisant pour x = x0 à une fonction arbitraire, donnée à l'avance, <p (y)-, holomorphe autour de y0. Nous admettons ce théorème fondamental qui sera démontré dans la Section suivante.

Ceci dit, soit ¥(x,y) une telle intégrale; nous supposerons

àV seulement, comme il est possible, que F s'annule, tandis que —

ne s'annule pas, pour x = x(i.y=y0 [il suffit de prendre ®(y) telle que <pQ'o) = ° et ^O'o) 7^0]. Si Ton substitue dans F (x, y) à la place de y, une intégrale quelconque de l'équation (E), on aura

G étant une constante indépendante de x ; on a, en effet,

dF <*F dy __ dj __ dF

àx ày dx àx dy ' ^

Si maintenant nous revenons à une intégrale y, définie comme au paragraphe précédent, et prenant pour x0 la valeur y0} on devra nécessairement avoir

FO, y) = o,

puisque F(#0, J'o) = o. Toute intégrale y satisfera donc à l'équation précédente. Or, si nous nous reportons au théorème de Weierstrass (Ghap. IX, n° 8), nous savons que l'on peut écrire,

Puis^ue(J)0^o> .

^{x,y) ne s'annulant pas dans le voisinage de (x0l yQ) et P(x) étant holomorphe. L'intégrale y, que nous étudions, vérifie donc la relation

y— PO) = 0.

Elle coïncide avec l'Intégrale holomorphe (* ) .

('.) On voit qu'il est utile pour la théorie des équations différentielles de ne pas établir l'existence des fonctions implicites en s'appuyant sur les théorèmes relatifs à l'existence des intégrales. On a vu d'ailleurs n° \\bis du Chapitre IX, que la théorie des fonctions implicites peut être présentée très simplement en se servant d'une méthode d'approximations successives, comme l'a fait M. Goursat (Bulletin de la Société mathématique, 1903).

27. La démonstration s'étend d'elle-même à un système d'équations différentielles

dx dx

-fa =Jn{oc,yuy^ .... yn)\

on devra ici considérer l'équation aux dérivées partielles

oV . àF . d¥

dx J àfi J ôyn

Nous admettons, comme nous lavons fait plus haut, qu'il existe une fonction F des n -f- i variables x, yt, y2l • . . j yn satisfaisant à cette équation et se réduisant pour x = x0 à une fonction arbitraire donnée à l'avance ^(^,,^1 ...,/«) holomorphe dans le voisinage de y •, y\, . . . , y°n.

Si, dans une telle fonction F (x, yt1 y^ . . ., y»), on remplace y*,y-2, • • • , yn par un système d'intégrales des équations proposées, on aura

fO, y\, y*, • .., yn) = C,

G étant une constante indépendante de x.

Prenons alors n fonctions F, que nous désignerons par F,, F2, . . . , F»; elles seront déterminées par les fonctions cp,, cp2, . . . , 0„ (jiii sont leurs valeurs pour x — x0- Nous supposons que

•/(.rîr.rîj •••î^«) = o (* = i, 2 n ).

et que le déterminant fonctionnel

ne s'annule pas pour ^J, y\, . . . , y",.

Un système quelconque d'intégrales >,. r2, ..., vw, prenant pour ./ ■„ 1rs valeurs respectives r", r", ..., r''. satisfera aux équations

1 ' yuyt, • • •,/») = 0,

M '-, ji,72> • ••-./«) =

Or, d'après ce que nous avons vu (Chap.lX, n° il), les valeurs des j-, satisfaisant à ces équations, restant dans le voisinage de y°\i y\-> • • •» y ni quand x reste lui-même dans le voisinage de x0l et prenant pour x — xQ les valeurs y% y"2, •••iJkJ!, sont des fonctions holomorphes de x. Nous arriverons donc encore à la conclusion : il ny a pas d'autre système d'intégrales satisfaisant aux conditions requises que le système holomorphe.

28. J'ai insisté sur l'existence unique du système d'intégrales dans le cas général où les équations ne présentent aucune circonstance singulière; c est en effet une proposition tout à fait fondamentale et la base même de l'emploi des équations différentielles dans toutes les applications. Il semble de plus, à lire certaines phrases d'un Mémoire de M. Fuchs ('), que ce théorème puisse être mis en doute. Je ne puis partager le scepticisme de l'illustre géomètre. Sans doute, on peut faire une critique à la démonstration de Briot et Bouquet qui suppose fini le chemin considéré, mais la proposition elle-même n'en subsiste pas moins, comme je viens de le montrer, si l'on précise bien l'énoncé. Prenons, en le simplifiant, un exemple cité par M. Fuchs : soit l'équation

cfy y^

dx x

dont l'intégrale générale est visiblement

y "~ \ogx -+- G*

C étant une constante arbitraire. Soit x0 ^ o ; lorsque x part du voisinage de x0 et y revient après avoir tourné un très grand nombre de fois autour de l'origine, une intégrale quelconque y a une valeur de plus en plus petite, mais il est bien clair que l'on ne peut pas dire que l'on a là une intégrale s'annulant pour x — x0, au sens que nous avons spécifié au n° 25.

(l) Fughs, Sitzungsberichte der BerLiner Akademie, 1886. On retrouve an écho de l'opinion de M. Fuchs dans un Traité récent. J'ai insisté à nouveau sur cette question importante (Proceedings of the London Mathernatical Society, t. XXXV). M. Painlevé a donné récemment une seconde démonstration {Bulletin de la Société mathématique, 1900).

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 38ej

VII. — Existence des intégrales des systèmes d'équations linéaires

aux dérivées partielles.

29. Nous nous sommes appuyés, dans la Section précédente, sur un théorème relatif à l'existence des intégrales d'une équation linéaire aux dérivées partielles. Nous aurons plusieurs fois encore, dans la théorie des équations différentielles ordinaires, à Remployer; aussi allons-nous établir de suite ce théorème en le prenant sous sa forme la plus générale.

Les propositions relatives à l'existence des intégrales des équations aux dérivées partielles ont été démontrées, pour la première fois, par Cauchy, à l'aide du Calcul des limites ('). On a simplifié, de différentes manières, les démonstrations de Cauchy et nous devons citer, en particulier, Darboux, Méray et M""' Kowaleski. Le Mémoire de l'éminente analyste sur ce sujet est devenu classique (2); c'est ce travail que nous prendrons pour guide dans l'exposé de la démonstration. Démontrons d'abord un théorème préliminaire.

On considère le système d'équations aux dérivées partielles

àui ^i oui

àu-2 V1 i, àui ik

dx À* <)xL M = ï, a, .., m

àum jry f <)u , i.A

-Zd (kâx~k

ou les A, B, ..., L représentent «les fonctions holomorphes des seules lettres //,, u2, .. ., um dans le voisinage de uj, u^, ..., uQm. On s*> donne d autre part /// fonctions de xt , x%, • • • «

holomorphes dans le voisinage dea ..., x* <'t se réduisanl

V <{<■ t uiichy loC. CÎt. ).

&OPHII KOWALISKI. Journal de C relié. I

respectivement à aj, wj, . . . ujn pour ces valeurs des variables X 1 , X21 • • «5 oc p.

Ceci posé, nous allons établir quon peut trouver m fonctions Ui, */2,..., umdesp-\-\ variables indépendantes x, x^ #2, . .., xp satisfaisant au système (E) et se réduisant respectivement

CD

pour x = xv a ©n o2, •

Nous faisons d'abord la remarque évidente qu'on peut supposer nulles les constantes initiales u\\ a?0, x°k. Si les fonctions satisfaisant aux conditions de l'énoncé existent, on pourra, à l'aide des équations (E), effectuer leurs développements suivant les puissances de x. On aura, en effet, les valeurs de toutes les dérivées partielles des u pour x = x{ — . . . = xp = o. Cela est évident pour les dérivées où x ne figure pas, puisque les valeurs des u sont données pour x = o. Quant aux autres dérivées partielles, on les aura de proche en proche; ainsi les dérivées, où la dérivation est faite une fois seulement par rapport à x, seront données par les équations (E) différentiées un nombre quelconque de fois par rapport à jp,, x2, . . ., xp. On dérivera ensuite les équations (E) par rapport à x: et en s'appujant sur le calcul des dérivées précédentes, on aura les dérivées partielles où la dérivation est faite deux fois par rapport à #, et ainsi de suite.

On aura donc les développements

Ui= p£h- P[x-h. . .-h Pj,#»-h. . .,

où les P sont des fonctions connues holomorphes de xt, x2, ..., xp. Si ces développements sont convergents, ils satisferont au système (E) ; cela résulte de la manière même dont ils ont été obtenus.

Le point capital de la démonstration est la convergence des séries précédentes dans un certain domaine autour des valeurs initiales. On reconnaît, dans tout ce que nous venons de faire, l'analogie la plus complète avec ce que nous avons fait dans le cas d'une équation différentielle ordinaire. La démonstration de la convergence va encore résulter d'une comparaison avec un système convenable; c'est toujours l'idée fondamentale du Calcul des limites de Cauchy.

Soit M le module maximum des A, B, . . ., L, quand les u restent dans leurs plans respectifs, à l'intérieur d'un cercle de rayon /•.

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3gi

D'après ce que nous avons vu (Chap. IX, p. 260), la fonction

peut être prise pour fonction de comparaison, c'est-à-dire qu'une dérivée partielle quelconque de F pour U\ = U? = . . .•= um = o est positive et supérieure au module de la dérivée correspondante des fonctions A, B, . . ., L.

Nous allons comparer le système (E) au système

âx àx àx U1+U2 + ...+ Um *^ ôxk

Soit, d'autre part, N le module maximum des fonctions cp (xi , x2, • 1 •■> %p) (qui s'annulent pour xK — x2 — • • • = ocp = o) quand les x restent respectivement à l'intérieur d'un cercle de rayon p. Aux fonctions o nous allons substituer, comme valeurs initiales des U dans (E'), la fonction de comparaison

D'après les propriétés des dérivées des fonctions de comparaison, il est bien clair qu'en développant les U en séries à l'aide du système (E), comme on a développé les u à l'aide du système (E), on trouve des coefficients positifs et supérieurs au module du coefficient correspondant dans U. Il suffit donc de démontrer la convergence des séries tirées du système (E'). Or les U, ayant même valeur 4> pour x = o, seront identiques, et le systrm» ( E') se réduit à l'unique équation

àx,,

/àl) à\5