TT

mlJ

\ o.i\ àxt

Puisque <P ne dépend que de xs -+--P1 -(- . . ,-\-xv, nous pouvons wmer que U ne dépendra que de cette somme. Regardons

donc L connue fonction de X «'t <!<•

z = x\ -h Xi -4- . . . -h x,, ;

3g2 CHAPITRE XI

l'équation précédente devient alors

dU M mp i>U

dx ml) dz

et nous avons à considérer l'intégrale U de cette équation qui, pour x = o, se réduit à

N N= NZ

Or l'équation (10) exprime que les deux expressions

U et i —

p + M mp x

sont fonctions l'une et l'autre. On doit donc avoir

i — lï + M mp x == ty ( U ).

Comment doit-on déterminer la fonction arbitraire <|> ? Nous voulons que, pou?' x = o,

on aura donc

si r

on pose

La fonction ty(t) est donc complètement déterminée, et la relation donnant U sera nécessairement de la forme

/ mU\ ., / wTT\ pU

C'est une équation du second degré en U : pour x — z = o, elle a une racine nulle et une autre égale à — La seule qui nous intéresse est la racine nulle : elle est holomorphe dans le voisinage dex = z=o; c'est donc aussi une fonction holomorphe de x,

xt , x2, . . . , xp dans le voisinage de

X = Xi = . . . = xp = o.

Le système (E') ayant une intégrale holomorphe, il en sera de même, d'après ce qui a été expliqué, pour le système (E) qui admet dès lors un système d'intégrales satisfaisant aux conditions requises.

30. Du théorème précédent, nous pouvons conclure un théorème plus général, en supposant dans le système (E) que les A, B, ..., L ne dépendent pas seulement des a, mais aussi de x, xu a?a, ..., xp. Le théorème qui vient d'être établi subsiste dans ces nouvelles conditions.

Pour l'établir, nous considérons le système des m -\- p -\- i équations

àum Y j dm

àxk

àx " ''

àx

àx\ -àx~=°-

àx'n àx

Ce système est de la forme de celui qui a été étudié au paragraphe précédent. On peut se donner pour x = o les valeurs initiales de ut, u2, . . ., am qui seront les fonctions <p, et aussi les valeurs "' ' J'\- ■■•iJ0,, pour x = o; pour ces dernières valeurs, nous prendrons

x'=ot x\=xt, ..., .,,, Xp.

Les /?-f-i dernières équations montrenl que Ton doit avoir alors et, par suite, nous avons démontré l'existence des intégrales

3g4 CHAP. XI. — THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

du système

àui Va/ \dui

-fa =2jXi>k(uU • ••> ¥m, -<B, XU ..., xp)faT'

àum V t / dut

-fa — 2a Li'k(UiJ •' •' W/"' ,r' ^i' •• •' xp)~faTy i,k

prenant pour x =. o /es valeurs cpl7 cp2, . . ., cpm.

31. Ainsi, en particulier, et c'est le théorème sur lequel nous nous sommes appuyé (n° 15), l'équation

du ., . du

[où l'on suppose f{x,y) holomorphe dans le voisinage de x0lyQ] admettra une intégrale u holomorphe dans le voisinage de x = #0, y-z=zy0 se réduisant, pour x = x0, à une fonction donnée cp (y) holomorphe dans le voisinage de y = y0. Pareillement, l'équation

au .du ... du

admettra une intégrale u se réduisant, pour x = x0, à une fonction holomorphe donnée de y{ , y2, .... ym.

I. — Cas où le coefficient différentiel devient infini. Théorème de M. Painlevé sur les fonctions définies par une équation du premier ordre.

1. Nous avons vu, dans le Chapitre précédent, quelle était la nature de l'intégrale de l'équation

devenant égale à y0 pour x = x0, quand f{x) y) est holomorphe dans le voisinage de (x0j yQ). D'autres circonstances pourront se présenter, et nous aurons à les étudier en détail. Considérons seulement en ce moment le cas très simple où y deviendrait infini pour x = x0, y = j0, mais de telle manière que son inverse, s'annulant en (j;0,j0),

tut holomorphe dans le voisinage de ce système de valeurs de x et y. One pouvons-nous dire des intégrales de l'équation (i) prenant pour x0 la valeur^,,?

On ramènera facilement ce cas à celui précédemment étudié, en considérant x comme fonction de y. Écrivons alors L'équation sous la tonne

dx I

dy Jir,y)

Le second membre est holomorphe dans le voisinage d<> i./„. | il s'annule poui x = x0,y = \ „ ; supposons d'une manière gêné-

raie que toutes ses dérivées partielles, jusqu'au rang m exclusivement, s'annulent pour ces valeurs (m est au moins égal à 1). D'après le théorème fondamental, il y aura une intégrale de l'équation (2) prenant pour y = y0 la valeur de x ; on aura

(3) x — xQ = A,(jk— y0)™+i-h A2(jK— jKo)m+2 + ... (A, 5*0).

il en résulte que y peut se mettre sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances croissantes de

\X — Xq)

le premier terme du développement contenant l'expression précédente à la première puissance. L'intégrale de l'équation (1), prenant pour x0 la valeur y0, a donc au point x0 un point critique algébrique , c'est-à-dire un point autour duquel se permutent diverses valeurs de la fonction. Ces valeurs sont ici en nombre m-\-\.

Dans la suite, nous dirons toujours qu'une fonction y de x a en xQ un point critique algébrique, quand elle prend une valeur déterminée (finie ou infinie), en x0, et qu'elle a autour de ce point un nombre fini de valeurs distinctes se permutant les unes dans les autres quand x tourne autour de x0.

Il est évident que l'on obtient ainsi toutes les intégrales de l'équation (1) prenant pour x = x0 la valeur y0, puisque nous avons démontré précédemment que la seule intégrale de (2) prenant la valeur de x0j quand y tend d'une manière quelconque vers y0, est précisément fournie par le développement holomorphe (3).

2. L'équation différentielle (1) définit une fonction analytique, quand on s'est donné les valeurs initiales (x0% yQ). En supposant /"holomorphe dans le voisinage de (.r0, jKo)> on aura un premier développement en série qui définira y dans le voisinage de xQ. L'extension de la fonction en dehors de cette première région de convergence se fera en se plaçant au même point de vue que dans la théorie des séries entières (Chap. II, p. 68). Si l'on a tracé un arc déterminé allant de x0 en X, on effectuera, s'il est possible,

QUELQUES APPLICATIONS DES THEOREMES GÉNÉRAUX. Sq;

une succession de développements de proche en proche pour atteindre le point X, mais il est clair que l'on pourra être arrêté si Ton rencontre des systèmes de valeurs de (#, y) qui soient des systèmes de valeurs singulières pour la fonction /(x, y).

Sans insister sur ces généralités peu instructives, arrêtons-nous sur un cas particulier qui nous conduira à un théorème fort important. Prenons l'équation

y* est une fonction rationnelle par rapport ky, et elle est uniforme par rapport à x quand cette variable reste dans une certaine région R. On suppose de plus que pour une valeur fixe, d'ailleurs arbitraire, donnée à y, la fonction /de x puisse avoir dans R soit des pôles, soit des points singuliers essentiels isolés; il est évident que ces derniers ne pourront pas ici varier avec y, puisqu'ils doivent être nécessairement des points singuliers essentiels pour un au moins des coefficients des diverses puissances de y au numérateur et au dénominateur de f. Il n'en sera pas de même des pôles qui, en général, dépendront de la valeur de y. Désignons par (a) l'ensemble des points singuliers essentiels et des pôles qui ne dépendraient pas de y.

11 arrivera, en général, que la fonction f{x, y) deviendra indéterminée pour un certain nombre de systèmes de valeurs de (#, y) ; ces systèmes seront les racines communes aux deux équations qu'on obtient en égalant à zéro le numérateur et le dénominateur de /". Soit (P) l'ensemble correspondant des valeurs de X dans \\.

Enfin, si, dans l'équation (E), on pose y= — > on aura une équation de même forme

fis

f =/i(^,ri).

on A, est rationnelle <-n r,, et il pourra arriver que pour certains systèmes de valeurs (y, o l <!<• r, r, > la fonction j\ devienne indénous appellerons (y) L'ensemble des valeurs correspondantes de i . Ceci pose, nous allons démontrer qu'en dehors des //oints (a), i - r équation \ E) n'a d'autres points singu

liers que des pôles ou des points critiques algébriques,

3g8 CHAPITRE XII.

Nous supposons que l'on parte d'un point x0 avec la valeur initiale y0, la fonction / étant holomorphe dans le voisinage de (#o, JKo)- On mène par x0 un arc de courbe G ne passant pas par les points (a), (j3), (y). Cherchons à nous rendre compte des valeurs de l'intégrale le long de cet arc. On avancera de proche en proche sur G en employant successivement les développements en série fournis par le théorème fondamental, mais il pourra arriver que les rayons de convergence de ces développements tendent vers zéro et qu'on ne puisse dépasser un certain point X de l'arc C. Nous devons nous demander quelle sera la nature du point X pour Tintégrale que nous étudions.

Il est, a priori, évident que trois circonstances peuvent seulement se présenter. En premier lieu, quand x tend vers X en suivant l'arc C, y peut tendre vers une valeur Y telle que

(4) 7(xSr)=o; .

la fonction -r sera alors holomorphe dans le voisinage de

(X, Y), puisque X est distinct par hypothèse des points (a), (p); le point X est alors un point critique algébrique.

En second lieu, y peut augmenter indéfiniment, la fonction

/i(^iJKi)

ajant une valeur (finie ou infinie) parfaitement déterminée pour j? = X, yK — o, puisque X n'appartient pas aux points (y), il en résulte encore que X sera ou un pôle ou un point critique algébrique.

En troisième lieu, on pourrait faire l'hypothèse que y n'a pas de limite quand x tend vers X; mais nous allons voir que cela est impossible. Marquons, en effet, dans le plan y les différentes racines Y de l'équation (4), Y, , Y, , . . . , Y^,, et considérons de plus dans ce plan le point oo. Si x reste à l'intérieur d'un cercle de rayon très petit p décrit autour de X, les racines y de l'équation

sx O

resteront dans le voisinage de Y,, ..., Y^. Nous pouvons donc

QUELQUES APPLICATIONS DES THEOREMES GÉNÉRAUX. 3g9

(écrire autour de ces derniers points des courbes très petites (si p est lui-même très petit) y< , y2, . . . , y^ à l'intérieur desquelles resteront les racines de l'équation précédente. Décrivons ensuite, toujours dans le plan des y, un cercle Y de rayon très grand.

Ceci posé, revenons à l'équation (E); si Ton prend comme valeur initiale de x un point à l'intérieur du cercle de rayon p tracé plus haut, et pour valeur initiale de y un point extérieur aux courbes y et intérieur à T, on aura une intégrale holomorphe dans un certain champ autour de la valeur choisie de x. Quand on fera varier d'une manière continue les valeurs initiales de x et y, le rayon de ce champ variera d'une manière continue, et il aura manifestement un minimum A différent de zéro quand x et y décriront l'ensemble des domaines où ils doivent rester.

Ces préliminaires bien compris, supposons maintenant que notre intégrale y ne tende vers aucune limite quand x se rapproche indéfiniment de X. Il est impossible que y reste constamment à l'intérieur d'une courbe y; ou à l'extérieur de I\ car, dans ce cas, y aurait pour limite un des Y; ou l'infini. Il arrivera donc que y, pour certaines valeurs de x aussi rapprochées qu'on voudra de X, sera à l'extérieur des courbes y et à l'intérieur de F. Or nous avons dit que, pour des valeurs initiales de x et y satisfaisant à ces conditions, le rayon de comergence autour du point x est au moins égal à un nombre fixe X; il y aura donc un moment où le cercle de convergence du développement enveloppera le point \, et celui-ci ne pourra pas être alors un point d'indétermination. La contradiction à laquelle nous arriverons démontre donc bien qu'en dehors des points (a), (JïJ), (y), V équation nu d'autres points singuliers que des pôles ou des points critiques algébriques.

3. Ce théorème a été démontré par M. Painlevé, et même dans le cas plus général où /serait une fonction uniforme quelconque de r dans le plan de la variable y (').

(') P. Paiulevé, Sur le* lignes singulière* de* fonction* analytique* ( \n nales <tc la Faculté de* Science* de. Toul<

Il s'étend aux équations qui ne seraient pas du premier degrf en -j- - Ainsi l'équation

algébrique en y et -^-» n'a, en dehors d'un certain nombre de

points fixes, que Ion peut marquer à l'avance dans le plan, que des pôles et des points critiques algébriques; c'est un point sur lequel nous reviendrons après l'étude des fonctions algébriques.

On peut énoncer le même résultat sous une forme un peu différente. Si nous appelons singularité supérieure d'une intégrale toute singularité autre que les pôles et les points critiques algébriques, nous pouvons dire que les singularités supérieures des intégrales de C équation (5) sont fixes, c'est-à-dire ne varient pas avec la constante arbitraire figurant dans V intégrale générale. On le voit bien pour notre équation (4) où les singularités supérieures ne peuvent être autres que les points (a), (fi), (y).

Ce théorème a été souvent implicitement admis, mais on se rendra compte qu'une démonstration rigoureuse était d'autant plus nécessaire que des circonstances toutes différentes peuvent se présenter pour les équations d'ordre supérieur au premier. Là les singularités supérieures peuvent dépendre des constantes d'intégration ('). Ainsi, soit

en éliminant C, et C2 entre )-, ~- et -r^> on aura une équation

algébrique

/ dy d^y \

et les singularités essentielles x == Ga des intégrales dépendent de la constante G2.

(l) J'ai appelé l'attention sur cette circonstance dans les Comptes rendus (1886-1887) et avec plus de développements dans mon Mémoire Sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques, 1889).

II. — Équation de Riccati et équation linéaire du premier ordre.