PO, Y

P et Q étant deux polynômes en y, qu'on peut supposer n'avoir pas de facteur commun quand x est quelconque, il suffirait pour x = x0, x0 étant quelconque, de prendre comme valeur initiale de y une racine y0 de l'équation

QOo,7o) = °-

L'intégrale de l'équation (E), devenant égale k y0 pour x = j;0,

. ,, • . dy

aurait en ce point un point critique algébrique, puisque -f- est

infinie pour (x0, y0). On voit donc que x0 serait un point critique algébrique pour une certaine intégrale, et nous avons pris x0 arbitrairement.

Ainsi f est un polynôme en y. Nous allons voir qu'il ne peut être de degré supérieur à deux. C'est ce que montre de suite

l'équation transformée obtenue en changeant y en — Si le

degré m <lc f est supérieur à deux, cette équation transformée sera de la forme

dyx = fx(*,y\) dx ' y?'* '

fs étanl un polynôme en i , ne s'annulanl |>;is, quel que soif j\

ru mu) . — n. n

4o'2 CHAPITRE XII.

pour )-, = o. L'intégrale de cette équation, qui s'annule pour une valeur arbitraire x0 de x, aura en x0 un point critique algébrique, car nous sommes encore dans le cas du coefficient différentiel devenant infini.

En définitive, notre équation (E) doit être de la forme

P, Q, R ne dépendant que de x . D'ailleurs, dans toute région du plan où P. Q, Rsont uniformes, les points critiques des intégrales ne peuvent être que les points singuliers (a) (pôles ou points singuliers essentiels) de ces coefficients : ceci résulte du théorème démontré au paragraphe précédent. L'intégrale y a une valeur déterminée (finie ou infinie) en tout point distinct des points (a); tant qu'elle reste finie, elle ne cessera pas d'être holomorphe, et, si elle devient infinie, son inverse restera holomorphe, puisque

l'équation (6) garde la même forme quand on change y en - •

5. Nous avions déjà rencontré l'équation (G), qui est connue sous le nom & équation de Riccati (t. I, p. 54o). On peut, comme conséquence du fait capital que les points critiques de l'intégrale générale sont fixes, trouver a priori de quelle manière la constante figure dans l'intégrale générale.

Soient deux points x0 et x distincts des points critiques; joignons-les par un arc de courbe déterminé ne passant pas par les points critiques. Désignons par y0 la valeur initiale d'une intégrale en #0, et soit y la valeur de cette intégrale quand la variable va de x0 à x par le chemin tracé. Quand y0 est donné, la valeur de y s'ensuit; y est donc fonction de y0, et c'est la nature de cette fonction que nous cherchons (*).

On voit d'abord que y est une fonction analytique uniforme de y0, car, pour étendre de proche en proche l'intégrale à partir de #0, en suivant l'arc tracé, on partage celui-ci en un nombre

(*) Nous généraliserons plus tard le raisonnement qui va être fait, quand nous étudierons avec M. Fuchs et M. Poincaré les équations algébriques du premier ordre à points critiques fixes.

QUELQUES APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. foi

suffisamment grand de parties, et l'on a alors une succession de cercles dans lesquels y ou - est holomorphe. Les valeurs successives de l'intégrale sont donc des fonctions analytiques de y0 et il en est, par suite, de même pour la valeur finale y. Quelle que soit la valeur finie ou infinie donnée à y0, y aura toujours une valeur parfaitement déterminée qui sera également finie ou infinie; ceci suffit pour que nous puissions affirmer que y est une fonction rationnelle de y0. En effet, la fonction uniforme y ne pourra alors avoir de singularités essentielles; ayant seulement des pôles à distance finie et à l'infini, elle se réduit donc à une fraction rationnelle (Chap. V, p. 129).

Mais nous pouvons aller plus loin : y0 sera de la même manière une fonction rationnelle de y, car on peut aller de x en x0 en suivant en sens inverse le chemin tracé, et le même raisonnement s'applique. Il en résulte que y sera nécessairement une fonction linéaire deyQ, soit

(7) '=c^rr^

\. B, G, D sont, bien entendu, à considérer comme des fonctions de .r, fonctions indépendantes de la valeur initiale y0 de l'intégrale. Nous pouvons donc dire que la constante arbitraire y0 entre linéairement dans V intégrale générale.

Il n'est peut-être pas inutile de souligner le point de cette démonstration où nous avons besoin de nous appuyer sur ce fait que les points critiques de l'intégrale sont fixes, car on pourrait être tenté d'appliquer le même raisonnement à toute équation «le la forme (E). Nous ne pourrions pas regarder y comme fonction de j0, si les points critiques des intégrales étaient mobiles; en effet, en faisant varier y0, il arriverait un moment où ces points critiques, variables avec yQ, rencontreraient l'arc tracé de x0 en x, et, à ce moment alors, y cesserait d'avoir un sens bien défini.

Nous venons de dire que la constante arbitraire, si elle est convenablement choisie, entre Linéairement dans l'intégrale générale de L'équation de Riccati. En fait, nous avions déjà obtenu ultat par un»- voie élémentaire, quand nous avons démontre

4o4 CHAPITRE XII.

(loc. cit.) que le rapport anharmonique de quatre solutions de l'équation précédente est une constante. En désignant par y la solution générale et par y,, y2l y% trois fonctions déterminées satisfaisant à l'équation, nous avons

Ji— 72 . y% — yi = a

oc étant une constante. En résolvant par rapport à y, on a bien pour celle-ci une expression de la forme (7), où, à la place de y0i se trouve la constante arbitraire a.

6. Un cas particulier très simple de l'équation de Riccati est celui de l'équation linéaire du premier ordre

qui correspond à P = o.

On peut remarquer que les intégrales de cette équation ont, non seulement leurs points critiques fixes, mais aussi leurs pôles fixes. En effet, un point r0 du plan, qui n'est pas un point singulier de Q ou de R, ne peut être un pôle d'une intégrale; car, si

l'on change y en — •> l'équation devient

et une intégrale de cette équation s'annulant en #0, est identiquement nulle, puisque yK—o est une solution et que la solution est unique d'après le théorème fondamental.

On peut intégrer par des quadratures l'équation (8). Posons

u étant la nouvelle fonction et v représentant pour le moment une fonction quelconque de x : on aura

dv du

a —. 1- v -;- = Q uv -+- H .

dx dx

Or choisissons v de manière que

dv dx=qÇ>

QUELQUES APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. ^o5

ce qui donne

v = eJ

en prenant arbitrairement la constante d'intégration. L'équation se réduit alors

— = R dx

On a donc

/- iQ àx R e «-' dx.

et l'équation linéaire du premier ordre est intégrée.

A l'équation (8) se rattache une classe un peu plus générale qui s'y ramène immédiatement; c'est l'équation

il suffit de poser

l'équation à laquelle satisfait yK est une équation linéaire du premier ordre.

III. — Inversion de l'intégrale elliptique. Fonctions entières associées aux fonctions elliptiques.

7. Le problème célèbre de l'inversion de l'intégrale elliptique va nous fournir l'occasion d'appliquer encore les théorèmes généraux du Chapitre précédent. Partons de l'intégrale elliptique

ou <7, b, r. d sont quatre constantes distinctes. Nous avons étudié

en détail les propriétés de cette intégrale, nous avons défini ses deux périodes et montré que l<- u r rapport est nécessairement Imaginaire (p. 'à \

Cette fonction de u esl complètement définie quand on a choisi la valeur initiale, pour u - //„. du radical qui figure au dénomi nateur | //„ étant distinct de '/. 6, c, d i. et qu'où sVsi donné fiemm d'intégration. C'est la fonction inverse qui va main

4o6 CHAPITRE XII.

tenant nous occuper, c'est-à-dire la fonction u de z obtenue en posant

Cette fonction u de z satisfait manifestement à l'équation différentielle

/ du\2 (9) I -j— I = X(u — a) (u — b)(u — c)(u — d)\

du 1 1 1 - •

pour ,3 = 0, on a u = u0 et -y- a pour valeur la détermination

choisie du radical pour u = u0. D'après le théorème fondamental, u sera une fonction holomorphe de z dans le voisinage de z = o ; nous voulons montrer que u est une fonction uniforme dans tout le plan, Payant d'autres points singuliers que des pôles.

En étendant de proche en proche la fonction, le théorème fondamental cessera d'être applicable quand la variable z arrivera en un point où u prendra une des valeurs a, 6, c, d et 00. Supposons d'abord que, pour z = a, u prenne la valeur de a\ nous allons voir que u ne cessera pas d'être holomorphe dans le voisinage de z = a. Il suffit, en effet, de poser

u = a -h u'2 et l'équation

CLZ

devient

du'

Le second membre est holomorphe dans le voisinage de u == o, et, par suite, les intégrales de cette équation (suivant qu'on prendra l'une ou l'autre détermination du radical pour u' = 0), s'annulant pour 3= a, seront holomorphes dans le voisinage de ce point. Le même raisonnement s'applique à 6, c, d.

Supposons maintenant que, pour z = a, u devienne infini, on posera alors

et l'équation deviendra dp

= y/A(i — av) (1 — bv)(i — cv)(i — dv). dz

Le second membre étant holomorphe pour e— o, on en conclut que v est holomorphe dans le voisinage de a. La fonction u est donc uniforme autour de a, admettant simplement ce point comme pôle.

De ce que, quelque valeur (finie ou infinie) que l'on donne à u en un point a, l'intégrale correspondante de (9) est uniforme dans le voisinage de ce point, on conclut souvent, sans plus d'explications, que toute intégrale de cette équation est une fonction uniforme dans tout le plan de la variable complexe z ( '). Une telle manière de raisonner pourrait conduire, pour des équations d'ordre supérieur au premier, à des résultats inexacts. Nous avons supposé implicitement plus haut que l'intégrale, étendue de proche en proche, prenait en chaque point du plan une valeur déterminée. Or il pourrait en être autrement, s'il était possible, par exemple, que cette intégrale eût des points singuliers essentiels.

Quelques mots d'explication seront ici suffisants pour rendre la démonstration rigoureuse, mais il est indispensable de les dire.

Nous allons montrer que, d'un point arbitraire z0 comme centre, on peut toujours décrire un cercle d'un rayon fixe p, tel qu'à l'intérieur de ce cercle, l'intégrale u soit uniforme. Ceci étant prouvé, il est manifeste que l'extension analytique de la fonction pourra se faire de proche en proche à laide d'un cercle de rayon invariable ; la fonction pourra donc s'étendre dans tout le plan, et ne cessera pas d'être uniforme.

Pour démontrer l'existence de ce nombre p, considérons le plan de la quantité complexe u. Traçons autour des points a, b, c, d des cercles C de rayons suffisamment petits, qui vont rester fi\es, et de l'origine comme centre décrivons un cercle Y d'un rayon assez grand, qui, lui aussi, restera invariable. Tant que u est intérieur à Y et extérieur aux cercles C, on a un rayon de convergence déterminé par le développement de l'intégrale de l'équation (9). Ce rayon de convergence a, quand u varie dans la région indiquée, un certain minimum différent de zéro. Supposons main- ! cnant que u soit dans un cercle C, on posera U =a -+- u'*., et l'on

<l) Il en esi ainsi, par exemple, dans le Traité classique '!«■ Briol el Bouquet. .1.11 insisté {Bulletin <t<"i Sciences mathématique* x 1890) sur l'insuffisance de ce raisonnement et montré comment <»n peut rendre la démonstration complètement

rigoureuse.

4o8 CHAPITRE XII.

a, comme nous l'avons vu, une équation en m', à laquelle on peut appliquer le théorème fondamental. Tant que u' restera dans un certain cercle C, transformé de C, le rayon de convergence de la série donnant u restera encore supérieur à une certaine limite. Nous avons donc notre minimum p, tant que u reste dans le cercle T, Si u est extérieur à ce cercle, on pose u=-f et nous avons

l'équation

/ dv \ 2

\dz) :=(I — av)(l~ bv){\ — cv){\ — dv);

v restera compris à l'intérieur d'un cercle \\ transformé de T. Quand v reste dans le cercle T\ on a un certain rayon de convergence pour l'intégrale t>, et ce rayon a un minimum différent de zéro. Nous avons donc, en résumé, en prenant le plus petit des difïérents minima trouvés, un rayon p tel que l'intégrale a, qui prend en un point arbitraire zQ une valeur arbitraire, finie ou infinie, est certainement définie et uniforme à l'intérieur du cercle ayant z0 pour centre et un rayon égal à p. La démonstration est donc complétée.