La fonction inverse u de z définie par

Jll0 •&(■«-)

où R(a) est un polynôme du quatrième degré dont les racines sont distinctes, est donc une fonction uniforme de z dans tout le plan. Remarquons de suite qu'il en est de même quand R(m) est un polynôme du troisième degré à racines distinctes : nous avons vu, en effet, qu'on passe d'une intégrale à l'autre au moyen dune substitution linéaire. On peut l'établir aussi directement par les raisonnements du paragraphe précédent, auxquels il faut cependant apporter une petite modification. Dans le cas où u devient infinie,

il faut poser

et l'on peut appliquer le théorème fondamental à l'équation en v. Une remarque importante découle de là; les pôles de u sont, dans le cas où R(w) est du troisième degré, des pôles doubles.

La propriété capitale de la fonction inverse est la double périodicité. Nous avons rappelé que l'intégrale avait deux périodes distinctes w et eu'; ceci veut dire qu'à une même valeur de u correspondent, en choisissant convenablement le chemin d'intégration, une infinité de déterminations de l'intégrale rentrant dans la formule

z -i- mw -+- m tu

z désignant l'une de ces déterminations, m et ni représentant deux entiers quelconques. Si donc nous posons

u = a(jz),

on aura, quels que soient les entiers m et m' positifs ou négatifs,

La Jonction X(*) est donc doublement périodique. Rappelons encore que le rapport —, est nécessairement imaginaire.

9. On peut représenter géométriquement sur le plan de la variable z la double périodicité de la fonction X(i). Marquons d'une part les points co, 2 to, 3 oj,. . . et d'autre part les points (./, 2 0/, 3 w', .... Les premiers sont situés sur une droite Oa (O étant 1 origine) et à égale distance les uns des autres, et de même les seconds sur une droite Ob; par les premiers points menons des parallèles à 06 et par les seconds des parallèles à Oa. Ces deux séries de parallèles divisent le plan en parallélogrammes égaux, et leurs points d'intersection sont les points ni w + ni ui homologues de l'origine. La double périodicité consiste en ce que la fonction reprend la même valeur aux points homologues de ces divers parallélogrammes. Il est clair que ce réseau de parallélogrammes t pas entièrement déterminé; l'origine O est un point arbitraire du plan et Ton peut, par conséquent, déplacer le réseau parallèlement à lui-même.

En se reportanl à la forme précédemment donnée (Chap. \ III,

p. 238) des déterminations multiples de l'intégrale (io), nous

>ns qu à une «râleur arbitraire de // correspondent deux valeurs

distinctes de si à-dire deui valeurs qui ae diffèrent i>.^

4iO CHAPITRE XII.

d'une somme de multiples des périodes. On peut encore énoncer ce résultat en disant que l'équation

a étant une constante quelconque (finie ou infinie), admet deux racines dans un parallélogramme de périodes.

En particulier, la fonction "k(z) a deux pôles dans chaque parallélogramme de périodes; dans le cas où le polynôme R(m) est du troisième degré, ces deux pôles coïncident et l'on a dans chaque parallélogramme des périodes un seul pôle, mais il est double.

10. Une remarque sur les pôles de A (s) va nous être utile dans un moment. Ecrivons explicitement l'équation différentielle

/ du \ 2

Soit a un pôle dans un parallélogramme de périodes. Dans le voisinage de a, la fonction u peut se mettre sous la forme

Calculons les deux premiers coefficients oc et (3. En substituant le développement dans l'équation différentielle, on aura

Nous devons égaler les coefficients des diverses puissances de z — a. On a ainsi, en prenant les coefficients de (z — a)~k et de

i = Aa*, 4A3 + B = o.

Ainsi, nous trouvons pour a deux valeurs égales et de signe contraire : elles correspondent aux deux pôles distincts de la fonction dont les résidus sont, par conséquent, égaux et de signe contraire. Au contraire, le second coefficient (3 n'a qu'une valeur.

QUELQUES APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 4l»

11. La fonction a(z) peut bien facilement être représentée par un développement en série, et, quoique ce résultat ne soit pas d'un grand intérêt pour le développement de la théorie des fonctions elliptiques, nous y reviendrons un moment, puisque nous avons déjà eu l'occasion d'étudier au Tome l (p. 3o,i) des expressions analogues.

Nous pouvons supposer que lune des deux périodes est 2-xi ; il suffit pour cela de remplacer z par kz% k étant une constante convenable. Appelons donc co et 2izi les deux périodes; la partie réelle de a) n'est pas nulle, et pour fixer les idées nous la supposerons positive.

Soient a et a' les pôles de la fonction dans un parallélogramme de périodes. Je forme la série

£^ I gZ-hmit) gai [gz+mio ça' I

Cette série est convergente pour toute valeur de z comme nous allons le montrer; on doit seulement remarquer que, si z est de l'une ou l'autre forme,

(il) a -t- po) h- -xq - 1 , a -+- p u> ■+- i q iz i ,

p et q étant entiers, il y aura dans la série un terme devenant infini, et il faut entendre alors que la série est convergente; quand on a laissé ce terme de côté.

La démonstration s'appuie seulement sur les règles élémentaires relatives aux séries. Prenons d'abord la partie de la série où m est positif. Pour m suffisamment grand, chaque terme est comparable à e"~ww, et, puisque la partie réelle de <•> est positive, cette partie de la série est convergente. Pour la seconde moitié de la série (m^oj, le terme de rang m pour m très grand est comparable à emu), et la convergence est encore évidente.

Ainsi, sans qu'il soil besoin d'insister davantage, la série représente une fonction f(z) uniforme dans tout le plan et admettant comme pôles les points des suites (il). Elle admet 'd'ailleurs évidemment les deux périodes 2 ici et tû. La chose est évidente pour la première période, puisque chaque terme admet cette période; quant à la seconde, elle résulte de ce que la série ne change évi demment pas quand on remplace m par m -\- i .

On voit de suite que les résidus de f(z) relatifs aux pôles a et a et leurs homologues sont égaux et de signe contraire; ils sont respectivement

et

eu — eu ea — eL

En multipliant f(z) par une constante convenable H, nous pouvons faire que les deux fonctions X(s) et Hf(z) aient les mêmes résidus; la différence

est donc une fonction doublement périodique, qui n'a pas de pôle dans un parallélogramme de périodes. Son module reste donc, dans un parallélogramme et par conséquent dans tout le plan, inférieur à un nombre fixe; elle se réduit donc à une constante d'après le théorème de Liouville. On peut donc exprimer la fonction \(z) à l'aide de notre série f(z).

12. D'après le théorème de Weierstrass (Chap. V, p. 1 49)» lft fonction "k(z) doit pouvoir se mettre sous la forme d'un quotient

les deux fonctions G(s) et G{ (z) étant des fonctions entières de zy n'ayant pas de racines communes. On peut évidemment mettre d'une infinité de manières une fonction, telle que X(*), sous cette forme, puisque l'on peut multiplier les deux termes delà fraction par £R(Z), R étant une fonction entière. Parmi les fonctions entières, dont le quotient donne X(z), il en est d'extrêmement intéressantes qui jouent un rôle fondamental dans la théorie des fonctions elliptiques. Les considérations suivantes vont nous j conduire très simplement.

Considérons l'expression

/ dz j (mu}-\-pu)dz (12) eJz» Jz>

m et p désignant deux constantes, et u étant toujours la fonction

doublement périodique de z définie par l'équation