«i + BM3 + CM*+DW + K
Nous voulons montrer qu'on peut choisir les deux constantes m et p de telle sorte que V expression (12) soit une fonction entière de z.
Les pôles de u sont les points singuliers de la fonction (12). La première intégration
/ (m«2 + pu) dz
donnera en général un logarithme. Voyons si nous pouvons choisir m et p de manière que l'intégration ne donne pas de terme logarithmique. En reprenant les notations du paragraphe 10, nous avons
""«■'-+p"= m[~ + ?+•• •]'+/> [jén + P+- ■•] >
et l'on voit que, si
im$ -\- p = o,
nous n'aurons pas de terme en : il 11' y aura donc pas
de logarithme après la première intégration, et cela pour l'un et l'autre pôle, puisque ^ a la même valeur — j-j pour les deux pôles. Nous avons donc la première relation
— mB+ :>.p\ =0.
La seconde intégration >e réduit alors à
•0 et, par suite, <*11<' introduit le terme logarithmique
— ma.1 log( s — a) -\- . . ..
Or, pour l'un «;i l'autre pôle, a2 .• la même valeur —, >i donc
mz* = — 1 ou m — \
l'expression (12) sera holomorphe dans le voisinage de z = a, et admettra a comme racine simple.
11 résulte du calcul précédent que l'on doit prendre
La fonction
— / dz I (A a2 H — u) dz G(z) = e «■ Js* V J
est une fonction entière ; elle a pour racines simples tous les pôles de u et n 'en a pas d'autres.
Si, maintenant, nous considérons le produit
nous voyons que ce sera une fonction entière G, (2), puisque les
pôles de X(vs) sont racines de G(z). De plus, G(z) et G4 (z) n'ont
pas de racines communes, G(z) n'ayant d'autres racines que les
pôles de "k(z).
Nous avons donc
Gt(*)
13. Les fonctions entières G et G, jouissent de propriétés remarquables. D'après la définition même de G(s), on a
G'(-s) Nous avons' donc
= / (mu2 -h pu) dz.
j (mu2-\- pu) dz.
Or le second membre ne dépend pas de z, puisque mu2 -f- pu admet 10 comme période, et que d'ailleurs les résidus relatifs aux pôles de cette dernière fonction sont nuls. En désignant par p. la valeur constante du second membre, nous aurons donc en intégrant
(i3) G(z + «) = ^+vG(«),
v étant, comme u, une constante.
On aura de la même manière l'identité 04) GU+ w') = cl*'*+v'G(i),
[/ etv' étant encore des constantes.
Les identités (i3) et (i4) expriment une propriété fondamentale de la fonction G (z). Nous sommes donc ainsi conduits à ces fonctions entières que Briot et Bouquet (4) appellent fonctions intermédiaires, et dont l'étude a été faite par M. Hermite dans ses lettres à Jacobi en 1 844- La fonction G|(:0 satisfait évidemment aux mêmes relations.
1 i. Arrêtons-nous sur la forme canonique, qu'ont rendue célèbre les travaux d'Abel et de Jacobi; l'équation différentielle se réduit dans ce cas à
dz J
La fonction u est complètement définie par la condition que, pour
du
dz
Nous désignerons, suivant l'usage, par
u = snz,
cette fonction elliptique, sn: étant l'abréviation de sinam.3. Cette fonction est impaire, c'est-à-dire que sn( — z) = — snz, puisque l'intégrale elliptique donnant z en fonction de u change de signe quand on change w en — u.
Si Ion se rappelle les résultats obtenus (Chap. VIII, p. 2j6), on voit de suite que les périodes sont ici
en adoptant les notations précédemment employées. Les pôles de
su.z sont (loc. cit.)
iK' et ?.K-wK',
et toutes les valeurs qui s'en déduisent par addition de multiples (') Briot et Bouquet, Théorie de* fonction* elliptiques, p. ?
de périodes. De plus, du changement de variable effectué (Chap. VIII, p. 246), on conclut
sn(s+f'K') =
Cherchons, à l'aide de cette formule, la valeur du résidu de sn£ correspondant au pôle j'K'. Nous devons obtenir la limite du
produit
(z — î'K'j sn^,
pour z == /K', ou, en posant z == t'R' -f- e, la valeur du produit
e sn(tK'-h e),
pour e = o. Or ce produit peut s'écrire
e k sns
dont la limite est manifestement -> puisque \—j — ) =1. Le résidu correspondant au pôle 2K-|-irv/ est — y
lo. Que devient, dans le cas particulier que nous examinons, la fonction G (z) du paragraphe 13? On a alors, en prenant z0 = o,
— k2 I dz I sn^zdz
Cette fonction entière a été d'abord considérée par M. Weierstrass (Journal de Crelle, 1 856), qui la désigne par Al(z) ('). Cette fonction, étant une fonction entière, peut être développée en une série toujours convergente ordonnée suivant les puissances de z. Les coefficients de ce développement peuvent se calculer facilement de proche en proche, en se servant de l'équation différentielle qui définit sns. On reconnaît ainsi immédiatement que les coefficients des diverses puissances de z sont des polynômes en k. Ce développement est convergent pour toute valeur de z et pour toute valeur de k. Si l'on pose G< (z) = AZ, (^), le développement de Alt (z) jouira de la même propriété que le développement de A/ (z).
(') Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, p. 465.
