CL Z

Les fonctions U et V étant premières entre elles (c'est-à-dire n'ayant pas de racine commune), on déduit de là

1 '//// une fonction entière.

Or, en désignant par u> et w' l<s périodes de snz, nous savons qn<- les fonctions I et \ se reproduisent multipliées par des exponentielles de la forme ei**+v cieVZi' quand on change z en

ru a ru». — u.

4l8' CHAPITRE XII. — QUELQUES APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX.

z -f- w et z -f- w'. Dans ces conditions le quotient

d*U (duy

dz* \dz) d /U'

ou

U2 dz \ U

sera une fonction doublement périodique. On en conclut que la fonction P(^) est une fonction doublement périodique entière et, par suite, une constante.

La valeur de cette constante est facile à calculer; il suffit de faire z = o, dans la seconde équation. Or, puisque

-A2 f dz f sn'zdz

V = e "H "° , U = Vsnz,

on a, pour z = o,

dz dz*

par conséquent P(z) = o. Les deux équations cherchées sont donc

Nous n'insisterons pas davantage sur les fonctions elliptiques. Nous n'avons pas voulu en ce moment faire leur étude, mais présenter simplement quelques applications des théorèmes généraux de la théorie des fonctions. Après avoir étudié les fonctions algébriques, nous reviendrons plus longuement sur les fonctions doublement périodiques.

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. — THÉORÈME DE M. NŒTHER. — SURFACES DE RIEMANN.

I. — Définition des fonctions algébriques; développement dans le voisinage d'un point.

1. Nous avons déjà considéré, dans un cas très particulier, une fonction algébrique : c'est le cas (Chap. V) où la relation entre u et z est de la forme

R étant un polynôme en ;. Il est indispensable que nous approfondissions l'étude générale des fonctions algébriques. Partons donc de la relation

/étant un polynôme en u e1 3 irréductible, c'est-à-dire ne pouvant être décomposé en un produit de polynômes de degré moindre. Le polynôme est supposé de degré ni en u pour une valeur arbitraire de r. Pour une telle valeur de z, nous avons donc ni valeurs distinctes de // : d'après le théorème général sur la décomposition en facteurs des fonctions «le plusieurs variables (Chap. IX, § 9), il i listera m développements holomorphes dans le voisinage de ;0 ei se réduisant respectivement pour z = :0 aux m racines de l'équation f (w, zQ) =o. Si donc on part en z0 avec une des racines u0 de cette équation, <m pourra suivre de proche en proche la racine choisie, pourvu que le chemin ne passe pas par uu point où plusieurs racines «le < i «deviennent égales, c'est-à-dire par un point critique.

Le cas où une racine et une seul.- deviendrait infime ne présente

aucune difficulté; on pose dans l'équation (1) w= - et l'on a

l'équation

cette équation a alors une racine nulle simple.

On peut remarquer que dans toute portion du plan ne contenant aucun de ces points critiques, le prolongement analytique de la fonction (ou de son inverse, si u devient infinie) se fait toujours à l'aide d'un cercle dont le rayon ne descend pas au-dessous d'un certain minimum, et nous concluons de là que, une fois choisie la racine en un point z0 de l'aire limitée par un contour simple ne comprenant à son intérieur aucun point critique, l'équation (i) définit une fonction uniforme dans cette aire.

2. Nous avons jusqu'ici laissé de côté les points critiques. D'après un théorème déjà établi (Chap. IX, § 7), nous savons que, si cette équation a, pour z = a, n racines égales à, (3, elle aura, pour z voisin de a, n racines et n seulement voisines de p. Soient, en Z\ voisin de a,

(2) Ut, u2, ..., un

ces n valeurs. Si nous partons de z{ avec la détermination u{ et que z tournant autour de a revienne en z^ w, qui n'a pu varier que très peu, sera resté voisin de (3 et se retrouvera alors en zt avec une des déterminations (2). Si l'on retrouve uu la racine considérée sera holomorphe dans le voisinage de a. Soit, dans l'hypothèse contraire, u2 la détermination trouvée; en tournant une nouvelle fois on obtiendra, soit wn soit une des autres déterminations m3, . . . , un. Dans le premier cas, on aura deux racines u{ et u2 se permutant autour de a; dans le second, on continuera de la même manière, et finalement on arrivera à n' racines

ui, u-i, . . . , un> (n'^.ti)

se permutant circulairement autour de a. On dit que ces n' racines, qui pour z = a prennent toutes la valeur [3, forment un système

circulaire. Si l'on pose

la fonction u considérée comme fonction de z' sera holomorphe

dans le voisinage de z' = o, puisque z fait n' tours autour de a,

quand z fait un tour autour de l'origine.

L'équation

f(u, a. + *'»') s ti

aura donc une racine holomorphe autour de l'origine, et, prenant pour z' = o la valeur (3, on peut la développer en une série

entière

u - p -h As'-h B*'* -+-....

Si maintenant nous revenons à la variable z, nous aurons le développement

Aux n' déterminations de [z — a)" correspondent n' valeurs de u : ce sont les n' racines qui se permutent circulairement. Nous arrivons donc à cette conclusion :

Les racines qui pour z = ol deviennent égales à ,3 forment un ou plusieurs systèmes circulaires, et les racines d'un même système circulaire sont, dans le voisinage de a, représentées par un développement de la forme (3).

3. Le résultat précédent pourrait suffire pour la théorie générale des fonctions algébriques et de leurs intégrales, mais, au point de vue pratique, on doit se demander comment on pourra obtenir les divers sjstèmes circulaires et les nombres n' correspondants. Cette étude a fait l'objet d'un Mémoire classique de Puiseux^).

Nous pouvons supposer a==(3 = o, et nous partons donc de l'équation

en admettant que, pour z — <>, L'équation ail n racines nulles.

Pour z très petit, L'équation aura // racines elles-mêmes très petites; ce sont ces racines que nous devons étudier,

Soil u une d<- ces racines : pour une valeur infiniment petite

(')Pri- ■: . Mémoire sur tes fonctions algébriques (Journal de Mathématiques % t. \\ , i85

de z, tous les termes du premier membre de (E) sont infiniment petits. Nous allons nous laisser guider par cette idée que u doit être par rapport à z d'un ordre infinitésimal déterminé. On aura alors deux termes au moins du même ordre infinitésimal, soit

Az«u$ et èl'-z*u$'\ De ce que la limite de

IÏÏZ*

Fz*'

est une quantité finie différente de zéro, on conclut que u est de l'ordre de z-V-, u. étant un nombre commensurable, nécessairement d'ailleurs positif.

Si l'on connaissait la valeur de p. correspondant à une certaine racine, on ferait dans l'équation (E) la substitution

u = tzv-,

et l'on aurait, pour z 5= o, une certaine équation en t. Les racines de cette équation en £, finies et différentes de zéro, donneraient les racines de l'équation (E) d'ordre {j. : il faut donc trouver u.. Soit

Si u est de degré pi par rapport à £, le terme général sera d'ordre

infinitésimal

a ■+■ (B{jl.

On aura toutes les valeurs possibles de u. en égalant oc + p(m à une autre expression analogue a' + £}'u,, mais toutes les combinaisons ne sont pas acceptables. La valeur de u. donnée par l'égalité précédente doit être telle que, après avoir remplacé u par tzV- dans l'équation, les autres termes soient d'ordre au moins égal à a -f- (3 [à. Pour trouver les valeurs de u, on procède de la manière suivante. Soit [i. une valeur convenable donnée par

a -f- p fjt = a'-)- 3' f^,

ja représente l'inverse du coefficient angulaire changé de signe de la droite joignant les deux points A et A' de coordonnées (a, (3) et (a', fi') rapportés à des axes rectangulaires Oa et 0(3. De plus

a | ft m représente l'abscisse à l'origine de cette droite; pour tout autre terme correspondant à

on doit avoir

d'où l'on conclut que le point (oc", ,3") doit être sur la droite AA' ou au-dessus (dans le sens des [i positifs).

On est ainsi conduit à la règle suivante : figurons tous les systèmes d'exposants (a, fi) par des points rapportés à deux axes Oa et 0,3. 11 y aura un point au moins sur Oa : soit P le point le plus rapproché de l'origine {fig. 36). Autour du point P, on fait

Fig. 36.

tourner 0I} de gauche a droite, jusqu'à ce qu'on rencontre un ou plusieurs sommets; soit A le dernier de ces sommets. Faisons tourner ensuite la droite PA, toujours dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle rencontre un <>u plusieurs autres points; soit A' le dernier <l<- ceux-ci. On fait tourner ensuite la droite AA' autour de V, et Ton continue ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à l'axe 03: sur cet axe, ie point fi = n est le plus voisin de l'origine.

^«•it donc un côté quelconque \ V don! le coefficient angulaire

- , ei désignons par

A ««ttP-4-...-f. A's* i

termes correspondant à ce côté. (h\ remplace // par f :'' <vt l'on

a, après suppression du facteur z<x+^',

(4) A^+... + A'# + iA(....) = o (A> o).

Pour z = o, nous avons l'équation en t, qui a fi' — fi racines différentes de zéro,

Au côté AA' correspondent donc fi' — fi racines de degré infinitésimal p.. En faisant la somme

on retrouve manifestement n; donc toutes les racines sont ainsi trouvées.

4. Avant d'aller plus loin, faisons d'abord une remarque importante sur l'équation (4)-

Soit ui = - (la fraction - étant irréductible hona r 9 \ 9 I

11 résulte de là que fi' — fi est un multiple de q\ d'une manière plus générale, et pour la même raison, si nous avons dans l'équation le terme

l'exposant fi" — fi est un. multiple de q. Donc V équation (5) est une équation en tf '.

Revenons maintenant à l'équation (4) ; en y posant

z = z'v, elle devient

(6) *P[A -+-. . .+ A'tf'-P] H- *'*G(*, *') = o,

X étant entier et positif et z ne figurant qu'à des puissances entières et positives.

Si tK est une racine simple de l'équation (5), la racine t de l'équation (6), devenant égale à tt pour z' — o, sera une fonction

holomorphe de z' dans le voisinage de z' = o. Soit

t = tt-+- az'-h bz">-h..., et l'on aura pour u le développement

Or ce développement a q déterminations. On voit de suite qu'il donne à la fois les valeurs de u qui correspondent aux racines

de l'équation (5) dont la puissance qièmo est la même. En effet, les q déterminations du développement (7), quand ; tourne autour de l'origine, ne cessent d'être racines de l'équation initiale, et elles ont précisément pour parties principales

ttzf, t2zf/, ..., tqz1.

Ainsi les q valeurs de u, correspondant à q racines simples de l'équation (5)'ayant même puissance qlèmti forment un système circulaire représenté par le développement (7), et la séparation de ces racines est effectuée.

o. Nous devons maintenant examiner le cas des racines multiples de l'équation (5).

Si ts est une racine multiple d'ordre r de cette équation, on aura évidemment

qr £ n.

Posons dans l'équation (E)

u = txz'l' ■+■ t'.

Au lieu de L'équation entre u et s, on aura une équation entre t' • •t -'. Oitc équation aura, pour z' = <>, /■ racines nulles pour les quelles I exposant correspondant esl supérieur à />. puisque, pour r racines u. la partie principale est /( z'p* Soit donc

4"î6 CHAPITRE XIII.

la fraction '— jouant le même rôle que la fraction - dans le paragraphe précédent. Si l'équation en 9, analogue à l'équation (5) en l' , n'a que des racines simples, la séparation sera terminée. Supposons qu'elle ait une racine multiple d'ordre r\ on aura

et, par suite,

r'q'Sr

qg'r'^qr^n;

q et q sont au moins égaux à un. On continuera ainsi tant que les équations analogues à l'équation (5) auront des racines multiples. Je dis qu'il finira par arriver un moment où cette équation n'aura que des racines simples. Plaçons-nous en effet dans l'hypothèse contraire. On aurait toujours alors, à partir d'un certain moment, des racines d'un même degré de multiplicité, et les nombres q seraient tous égaux à l'unité, condition indispensable pour que l'inégalité ci-dessus écrite soit vérifiée. Désignons par

la première équation à partir de laquelle cette circonstance se présenterait. Il y aurait des racines t' de cette équation que la méthode ne permettrait pas de séparer; en effet, une même suite de polynômes en z! \ de degrés infiniment croissants, représenterait la partie principale de ces racines. Mais ceci est impossible, car l'ordre infinitésimal de la différence de deux racines infiniment petites est nécessairement un nombre fini, comme le montre immédiatement la considération du dernier terme de l'équation aux carrés des différences des racines; ce dernier terme est d'un ordre infinitésimal déterminé et la différence de deux racines est au plus d'un ordre moitié moindre que celui-là. Nous sommes donc assuré que les racines se trouveront à la fin séparées, et elles se trouveront divisées en systèmes circulaires, comme nous l'avions prévu a priori au paragraphe 2.

6. Donnons quelques exemples de la théorie précédente. Supposons qu'il y ait dans l'équation un terme en z\ soit

kz -+- A' M" -h. . .= o.

Le polygone se composera dans ce cas d'une seule droite joignant

le point a = i, 3 = o au point a = o, (3 = n. On aura, pour

déterminer »jl,

L'équation en t sera donc

A -t- X'tn= o;

il y aura un seul système circulaire de racines.

Sans nous arrêter au cas du point double à tangentes distinctes, prenons de suite le cas d'un point double à tangentes confondues, et soitjK = o cette tangente. L'équation sera de la forme

o = m2 -+- bzl -4- au zi> -+- . . . ,

en écrivant le terme qui renferme z seul jet celui qui contient u à la première puissance.

Si ip <^ q1 la ligne polygonale aura deux côtés. Pour le premier,

q = />.-+- [J. ou (JL = q — p.

Pour le second,

P -f- jJt = 2 fi OU \X = p.

Les deux développements sont distincts et procèdent suivant les puissances entières de x. En langage géométrique, on a là un contact de deux branches,

Si ■>.[) - y, il n'y aura qu'un côté, et alors

q = x '). ou u. = — •

On pose m = tz", et l'équation en t est

Suivant la parité de <y, les deux racines formeront ud système circulaire nu auront deux développements distincts.

Prenons enfin le cas où 2/? = q. Il n'y aura alors qu'un seul côté dan- la Ligne polj gonale, et Ton a