Terminons en faisant la carte de Tellipsoïde ari V* z

Nous prendrons les coordonnées elliptiques A et [jl sur cette surface. Le paramètre A, supposé compris entre — a^ et — 6^, correspond à l'hyperboloïde à deux nappes

(X, compris entre — 6^ et — c^, correspond à Thyperboloïde à une nappe

rr« yî ^î ^

SURFACES APPLICABLES. — REPRÉSENTATION CONFORME. ^Sl

Les trois équations précédentes donnent

a«(a«-hX)(a*-f-HL)

Calculons

on a

C«(c«-f-X)(c«-f-fJL)

dx dk du.

X a* -h A a'-+- jjt dy ^ dk dix

2 = -r- r -t- -rr >

âfz éA £^11

et, par conséquent,

4rf**=MirfX*-HM,rffz«; en posant

Pour calculer rapidement M| et M2, opérons comme le fait Jacohi (Vorlesungen ûber Dynamik), Soit

iL(t\-^ ^* r* ^'

on a

V^^^Azrx'" («*-♦- X)« "^(^î-hX)* "^(c»-4-X)* "^*-

Mais, d'autre part, u{t) s^annulant pour ^ = o, ^ = X, ^ = [x, on peut écrire

donc

/^\.. X(X-tJL)

W/A=X (aî-4-X)(6«-f-XKc«-4-X)'

Ainsi

' (a«--X)(^>2-4 X)(c«-4-X) * (aî-+-|ji)(6«4-ix)(c»-htJi)

Nous avons donc

Cette formule permet d'obtenir immédiatement une carte géographique de l'ellipsoïde. Il suffit de poser

Les deux systèmes de lignes de courbure de la surface, correspondant à X = const. et [X = const. , seront représentés sur la carte par des parallèles aux axes de coordonnées.

24. Les caries géographiques où les angles sont conservés ne sont pas les seules qui soient emploj^ées. Il y a, dans certains cas, intérêt à avoir des cartes géographiques où les aires soient consensées; c'est dans ces conditions qu'est construite la Carte de France dite Carte de r État-major.

Reprenons le ds^ d'une surface

ds^= E du^-{- ^F du dv -h G dv^.

D'après ce que nous avons vu (Chap. TV, § 14), l'aire est représentée par l'intégrale double

rr/EG — F« du dç.

Or supposons qu'il y ait une correspondance entre la surface et un plan (X, Y). Les coordonnées X et Y d'un point de ce plan seront fonctions de u et if; l'aire dans le plan est représentée par

Pour qu'il y ait conservation des aires, il faut et il suffit que Ton ait

Ainsi, il n'j a qu'à prendre deux fonctions X et Y de m et v, telles que

du dv ôv du

pour avoir une carie géographique avec conservation des aires. Uindé termina lion du problème est donc ici bien plus grande que pour les cartes avec conservation des angles.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'une surface de révolution ; on pourra prendre

a? =-: ç(a).cos(^, ^ = ç(w).sini', 5 = u. On aura

E = I-^<p'«(a), F = o, G = <p«{a). On a alors

/ËG— "F« =Û(tt),

et si l'on prend une nouvelle variable U telle que

U = Ç Çl(u)du,

l'équation à laquelle devront satisfaire les fonctions X et Y de U et V se réduira à

d\} dv dç à\} '~''

qui est indépendante de la surface de révolution considérée.