Revenons maintenant au groupe de substitutions linéaires
{ad — bc = 1),
/ az-^b\
a, b, c, d étant des entiers. Je rattacherai de la manière suivante Tétude de ce groupe à la théorie de la réduction des formes quadratiques exposée dans le paragraphe précédent. En posant
la partie réelle de - — ■% sera
ac(a?'-+- V») -{-{ad-¥- bc)x-^ bd c*(a7*H-^*) -h icdx ■+• d'
et le carré de son module est égal à
rt*(.r2-f-y*)-+- '>.ahx -\- b^ C*(a7*-h^*) -^^cbx-hd*
J'envisage la forme quadratique aux indéterminées X et Y
(F) X*-4-2a7XY-+-(ar«-t-^«)Yï,
x, j^ ayant des valeurs déterminées {y>'o). Si Ton effectue sur cette forme la substitution
(X, Y,rfXH-6Y, cX-T-aY), elle devient
[c*(iC*-+-^»)-h 2cdx-h rf*]X*-h 2[(a7*-4-^«)ac-+-(aûf -f- bc)x-hbd] XY
■+■ [a«(a7«-H^*)-H'2aôiC-+- 6*]Y«.
Or on peut choisir les entiers a, 6, c, rf, (au? — éc= i) de manière que cette forme soit réduite; on aura alors
c*(a7*-+-^*) -+■ icdx -h flf*< a'(a?*-4-^*) -h 7.abx 4- 6', I (x^'^y^)ac -\- (ad-h bc)x -h bd ^ i """ â c«(a?*-+-j'*) -h -2 cdx -+- û^* ''^ 2 '
Donc, en choisissant convenablement les entiers a, i, c, rf, le module de -, sera plus grand que l'unité, et sa partie réelle
sera comprise entre et H
On peut encore dire qu'à tout point z du demi-plan correspond, par une substitution convenable du groupe, un point dans le triangle formé dans le demi-plan par les droites
x= -7 X =^ et la circonférence a;2+r*=i. Le troisième
sommet de ce triangle curviligne est à l'inGni dans la direction
de O^'. Ce triangle est dit le ^oXy^one fondamental du groupe.
Au point z ne correspond d'ailleurs, en général, qu'un point
dans le triangle précédent. En effet, si le point ( jr, y) est à l'intérieur du triangle (et non sur son périmètre), la forme quadratique F est une forme réduite, et toute autre forme équivalente n'est pas une réduite, d'après le théorème du paragraphe précédent.
Les points du périmètre du triangle se correspondent deux à deux par une substitution du groupe.
La substitution
transforme le côté BB' dans le côté GC; la substitution
transforme J'arc AB en Tare AC {fi g* aS).
Si l'on fait des représentations conformes du triangle fondamental qui précède, en employant toutes les substitutions du groupe, on obtiendra une infinité de triangles curvilignes dont les côtés seront des arcs de cercle normaux à O^. Deux quel-
Fig. 35.
conques de ces triangles ne pourront avoir d'autres points communs que des points de leur périmètre; en effet, s'il en était autrement, un tel point commun, considéré comme appartenant à P. - I. 3o,
l'un OU l^aulre de ces triangles, correspondrait à deux points de V intérieur du triangle fondamental, ce qui est impossible, puisque deux points de l'intérieur de ce dernier triangle ne peuvent se correspondre par une substitution du groupe. Le demi-plan se trouve ainsi partagé en une infinité de triangles curviligneSy et deux quelconques de ces triangles sont la représentation conforme l'un de l'autre (*).
20. Le point de vue auquel je me suis placé plus haut pour rattacher la théorie de la substitution
\"' cz -h d)
à la théorie des formes quadratiques peut être étendu pour obtenir les substitutions d'un demi-espace, quisontles analogues des substitutions précédentes (-).
11 nous faut auparavant indiquer la façon dont M. Hermite a généralisé la notion de forme quadratique, en considérant des formes quadratiques à indéterminées conjuguées. M. Hermile donne ce nom aux formes telles que
AXXo-+- BXYo-^ BoXoY -r- GYYo,
dans laquelle X et Xq ainsi que Y et ¥<, sont deux variables complexes conjuguées. Les coefficients A et C sont réels et B© est la conjuguée de B. Si l'on effectue sur X et Y une substitution
Y = cX^-aY',
Uy b, C, d étant des quantités complexes, et si l'on a soin d'effectuer sur Xo et Yo la substitution conjuguée
Xo = «0 Xq -I- 6»o Y ^, ,
Yo= CoXy -h aoY;,,
(') Outre l'Ouvrage déjà cité de M. Klein, on pourra consulter sur ce sujet le Mémoire de M. Dcdekind : Uebcr die elliptLSche:i Modul-Functionen {Journal de Crelle, l. 83), et un Travail de M. Hurwitz {Math. Annalen, l. XIV).
(■-) E. Picard, Sur un groupe de transformations des points de l*espace situes du même côté d'un ptan {Bulletin de la Société mathématique^ itS8}).
la forme donnée se transforme en une autre de même nature. Il y
a encore un invariant analogue à celui des formes réelles : c'est
l'expression
BBo— AG.
Quand celle-ci est négative et que A > o, C > o, la forme est encore dite définie et positive.
Ces remarques faites, j'envisage la forme suivante, qui va remplacer la forme F du § 19,
XXo-H a7XYo-4- rroXo Y -+- {xx^-^ y^')\\^,
OÙ X désigne une quantité complexe arbitraire et y une quantité réelle positive.
La substitution à coefficients complexes quelconques
(X, Y, ^X-+-6Y, cX-f-aY) (arf— 6c = i)
la transforme en
A'XXo-f- B'XYo-l- BJXo Y -4- G' YYo, en posant
A'= cco (a:xoH-^^) -+- dc^^x -h doCXo -h dda, B' = cao ( ^J^o -H V- ) 4- ao dx H- cb^ Xq -+- db^, G'= aaaixx^-^y^) -f- ba^x h- 6oaa7o-l- bb^.
On est ainsi conduit à une transformation relative à la variable complexe icet à la somme ot^o+^^î substitution qui peut s'écrire
I , caQ{xxQ -f- >'* ) -h «0 ^^ -+- ^^0 ^0 -^ ^^0
ccq ( xXq -h J'' ) -h dcQ X -h doCXQ-h dd^
, , ,^ aaQ{xx^i-\- y"^) — bapx -^ boaxQT- bb^
° ccq{xxq -+- j^- ) -h dcQ X -^ dQCXQ-i- ddo *
A un système de valeurs de la quantité complexe x et de la quantité positive j/ correspond par ces formules un système parfaitement déterminé de x' et y (y étant positif comme y). D'après la manière même dont cette substitution a été obtenue, il est manifeste que le produit de deux de ces substitutions, correspondant aux valeurs a, 6, c, rfeta', b' ^ c' y dJ {ad — bc=^a'd' — V d =^ i), sera encore une substitution de même nature.
On peut donner une forme géométrique au résultat précédent.
Soient OÇ, Or», 0^ un système d'axes rectangulaires et considérons le demi-espace situé au-dessus dft plan des Çr, (J^>o). A chaque point ($, r», 'Ç) correspond un système de valeurs de la quantité complexe x et de la quantité positive j^, si l'on pose
37 = J -f.|Yi, ^ = Ç,
et réciproquement.
La substitution (S) donne donc une transformation du demiespace en lui-même; elle est tout à fait l'analogue de la transformation du demi-plan en lui-même fournie par la substitution linéaire à coefficients réels.
C^est M. Poincaré qui a, le premier, étudié cette transformation de l'espace; il l'a obtenue par des considérations géométriques entièrement différentes des considérations algébriques que nous venons de développer. Elle joue un rôle essentiel dans la théorie des groupes kleinéens ( * ).
La méthode que nous avons suivie pour obtenir (S) rend facile l'étude du cas où a, i, c, d sont quatre entiers complexes, c'està-dire de la forme m 4- ni {m et n entiers), satisfaisant à la relation
ad — fec = I.
Les substitutions^ forment alors un groupe discontinu. On trouve, pour ce groupe, un polyèdre fondamental Mmïlé par les quatre plans
et la sphère
ce polyèdre est tout à fait analogue au triangle fondamental rencontré plus haut. Mais le développement de ce point m'entraînerait trop loin, et je me borne à renvoyer à mon article cité plus haut et aux études ultérieures de MM. Fricke et Klein (2).
(*) H. Poincaré, Mémoire sur les groupes kleinéens {Acta mathematica, t. III).
(2) Fricke et Klein, Vorlesungen îiber die Théorie der automorphen Functionen. Ers 1er Band, 1897.
rv. — Cartes géographiques d'une surface.
21. On dippeWecarte géographique d^unesurhce\aL représentation d'une surface sur un plan, de telle sorte qu'à chaque point du plan corresponde un point de la surface. Les cartes les plus intéressantes sont celles dans lesquelles les angles sont conservés, c'est-à-dire dans lesquelles l'angle de deux lignes quelconques dans le plan est égal à Tangle des lignes qui leur correspondent sur la surface : dans ces conditions, les parties infiniment petites sur la surface et sur la carte sont semblables.
Soit
ds*= E du'-r- ^F dudç ^ G dv^
le carré de l'élément d'arc sur la surface. Si l'on exprime u et ven fonction des coordonnées rectangulaires X et Y sur le plan de la carte, on doit avoir (§2)
E d'w«-+- aF du dv 4- Grfw* = X(rfX«-f- rfY»;,
égalité qui exprime que les carrés des éléments linéaires sur le plan et sur la surface sont proportionnels. Le problème des cartes géographiques revient donc à exprimer u et i^ en fonction de X et Y, de telle sorte qu'à un facteur près la forme qui représente ds^ se
réduiseàrfx'-f-rfY'.
Cette réduction, comme Lagrange Ta montré dans ses deux célèbres Mémoires 5wr la construction des Cartes géographiques, peut être faite d'une infinité de manières. U est évident, a priori, que d'une carte on déduira toutes les autres, en eflectuant sur cette carte une transformation quelconque conservant les angles, transformation étudiée dans la Section IL Pour démontrer la possibilité de la réduction annoncée, il faut nous appuyer sur le résultat suivant, que nous aurons à reprendre avec plus de détail dans la théorie des équations du premier ordre :
Étant donnée une expression
P éir T- Q dy, où P et Q sont des fonctions quelconques de x et y, il existe une
478 APPLICATIONS GfiOMÉTRIQUES DU CALCUL LNPlNITfiSIMAL.
fonction (x de a: et y^ telle que
soit une différentielle totale. Il faut et il suffit pour cela que
dy dx \âf ôx j ~~ '
On n'aura aucune difficulté à admettre pour le moment qu^il esLÎste une fonction [xdex et^ (et même une infinité) satisfaisant à cette unique équation. On appellera (jl un facteur intégrant de l'expression V dx -\- Cldy.
Ceci posé, reprenons
ds^r= Edu^-^^Fdudv-^Gdv^ (EG — F«>o).
Nous pouvons décomposer cette forme quadratique en du et di^
en un produit de deux facteurs qui seront imaginaires conjugués.
Soit
ds^= (adu-+-bdv)(a' du-^ b' dv) ;
a et a', b et b' sont des fonctions imaginaires conjuguées des deux variables réelles u et i^. L'expression
a du -^ b dv
admettra un facteur intégrant que nous écrirons sous la forme m 4- ni^ en mettant en évidence la partie réelle et la partie imaginaire. On a donc
( m -H ni) {a du ~h b dif ) = dX - id^î ,
X et Y étant deux certaines fonctions de u et t^. Pareillement,
(m — ni) ( a' du ~~ b' dv) = dx — i d\ ; par suite,
rf5» ( m* -h n» ) = ûfx« -4- <nr * .
Les deux fonctions X, Y de <^, (^ établissent donc la correspondance cherchée entre les points de la surface et les points du plan (X,Y).
La recherche du facteur intégrant exigeant, en général, l'in-
légration d'une équation du premier ordre, le calcul précédent donne seulement la démonstration de la possibilité théorique de la réduction.
22. Prenons quelques exemples simples. Proposons-nous de faire la carte d'une sphère; en la rapportant à son centre et désignant par ^ et 0 la longitude et le complément de la latitude d'un point (^,y, 2), nous avons
a? — RsinÔ cost}/, ^ — R sinÔ sinij;, z — RcosO,
R étant le rajon de la sphère. On a de suite
ds^^ R2(^0>-+-sinîec^'V).
Pour ramener rfj^ à la forme [/.(rfX^-f- ^Y^), nous pouvons écrire
ds^ = R« sin«0 (-^^ -^d^^)' \sin*6 ^ /
Il sufGt alors de poser
dX = -^~~ , d\ = d^, ce qui donne
X = logtang-» Y — 4'-
On a alors une carte dans laquelle les parallèles et les méridiens sont représentés par des parallèles aux axes de coordonnées. C'est la Carte de Mercator.
Une autre carte de la sphère peut être obtenue de la manière suivante : Écrivons ds^ sous la forme
ds^ = 4 cos* - / ^ -h R« lang* - e/tj/* \ .
n4cos»? ^ )
Si l'on pose p = R tang - » on aura alors
ds^ = 4 cos* - (ûfp*-h p* dh^).
48o APPLICATIONS GÉOMÉTBIQUBS DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
La quantité entre crochets représente le carré de l'élément linéaire dans un plan, rapporté aux coordonnées polaires (p et ^), Par conséquent, si Ton pose
X = pcos4/, Y^psin^», on aura
^i5«=4C0S*-(ûfX2-4-ûfY»),
forme correspondant à une carte géographique. Il est facile d'interpréter géométriquement le résultat qui précède. Prenons la projection stéréographiqiie sur le plan de Téquateur, le point de vue étant au pôle austral sur la sphère. Si a est la projection stéréographique du point A(8, ij;), on aura évidemment
Ort — Il tang-« Les coordonnées polaires du point a dans le plan sont donc
Rtang- et ^. La carte que nous avons obtenue n'est donc autre
que la carte par projection stéréographique : le calcul précédent conduit à ce résultat Lien connu que celte transformation conserve les angles.
