I. — Définitions et premières propriétés du potentiel

i. Nous ferons une dernière application des notions relatives aux intégrales multiples, en étudiant les propositions les plus simples de la théorie de Tattraclion. Nous n'avons pas à expliquer ici comment, dans un corps attirant, on suppose la matière répartie d'une manière continue, de telle sorte que la densité p soit une fonction continue des coordonnées (a, 6, c) d'un point variable de la masse attirante. Les trois composantes X, Y, Z de l'attraction exercée sur un point de coordonnées (jî, y^ z) sont alors

-J'ff -fjf

(b -y)pdv

(c — z)p dv

où r^z=z(x — ay-h(y — by-^(z — cy et dv = dadbdc, ces intégrales triples étant étendues à la masse attirante. X, Y, Z sont à regarder comme des fonctions de x^ y^ z. Nous allons démontrer qu'elles sont les dérivées partielles par rapport k x, y^ z d'une même fonction représentée par l'intégrale

pdç

étendue à la masse attirante et à laquelle on donne le nom de potentiel.

lyS ÉQUATION DE LAPLÀGE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

2. Supposons d'abord que le point soit à l'extérieur des masses attirantes, X, Y, Z sont alors des fonctions continues de x^ y^ z, et les relations

ôz

sont

une

conséquence immédiate de Tid

entité

et des identités analogues relatives à^ et ^.

Remarquons de suite que V(^, j^, z) et ses dérivées partielles

-r— > -7— > -j- tendent vers zéro quand le point (ic, y, z) s éloigne a

l'infini d'une manière quelconque. Écrivons V sous la forme

V= 1 f f f^pdadbdc (R»r^ a?»-+-7«-i-i»).

Quand (x^ y^ z) s'éloigne à l'infini, —a l'unité pour limite; on a donc

iim VR == fffp ^« ^* de = M,

M désignant la masse attirante. La fonction Y devient donc nulle comme k-* De la même manière on écrira

Or — tend vers l'unité, ^" reste inférieur à l'unité en valeur

absolue; par suite on aura, en supposant que le point {x^y, z) s'éloigne à l'infini dans une direction faisant avec les axes des angles (a, p, y), ^

Iim ( R* -- j = — M cos a, et deux formules analogues pour -t—gI-t-'

On dit quelquefois qu'une fonction Y et ses dérivées du premier ordre s'annulent à l'infini comme un potentiel si elles sont

respectivement, pour R très grand, de l'ordre de ^ et de ^• Étudions les dérivées secondes, l'on a :

<^V a«v a«v En effet,

et en faisant la somme AV on obtient zéro identiquement.

On n'oubliera pas que, dans ces calculs, le point (:r, y^ z) est supposé extérieur aux masses attirantes. Les opérations que nous avons faites ne seraient plus légitimes, à cause des éléments devenant infinis, si le point était intérieur.

3. C'est ce cas que nous allons maintenant examiner. Le point A(a:, y^ z) est donc à l'intérieur de la masse attirante. On s'assure d'abord immédiatement que V, X, Y, Z n'en ont pas moins un sens parfaitement déterminé. Il suffît, en effet^ de faire usage des coordonnées polaires (r, 0, <{^) en posant

a = iF-h rsinO cos^', 6 =^-h rsinô sin^, c = ^-+-rcos6;

alors

dv = r* sin 9 dr d% d^,

et les éléments restent finis dans V, X, Y, Z pour r = o; de plus, ces fonctions sont des fonctions continues dans tout l'espace.

Nous allons montrer que les relations (2) subsistent. Détachons autour de A un petit volume. Les masses attirantes sont alors partagées en deux parties, l'une un intérieure à ce petit volume, l'autre deux extérieure et dont nous désignerons respectivement les potentiels par V| et Vj. On aura

V = V,-f-V, et aussi X = Xi-f-X,,

en décomposant la composante X en deux parties, l'une X| relative à la masse un et l'autre Xa relative à la masse deux.

On prend, dans le volume 2//i, un second point A' de coordon-

l8o fiQUÀTION DE LAPLÀGE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

nées {x -i- ^x^y^z); soient V, V,, Y'^ les valeurs du potentiel relatif à A' pour le volume total et les volumes un et deux. Nous avons

Aa? ùix Aa?

Or, lim-^ — — = X2, quand A^ tend vers zéro. Etudions le quotient

En désignant par r et r les distances d'un point variable du volume w/i à A et A', on a