IV. — Problème de Dirichlet pour une surface convexe

méthode.

12. On doit à M. Neumann une méthode remarquable pour résoudre le problème de Dirichlet, dans le cas très étendu où la surface est rencontrée seulement en deux points par une droite et où, suivant l'expression de l'auteur, elle n'est pas biétoilée, c'està-dire que tous les plans tangents ne vont pas passer par deux points fixes (tel serait le cas d'un cube).

Nous nous bornerons ici aux surfaces convexes, considérées dans la Section précédente, pour lesquelles il existe en chaque point un plan tangent déterminé. Nous suivrons une méthode indiquée par Kirchhoff et publiée par les soins de M™* Kowalewsky dans les Acta mathematica (t. XIV, p. 179). Au fond, l'analyse

(*) K. Neumann, Untersuchungen ûber dos logarithmische und newtonische Potential. Leipzig, 1877.

(') On pourra encore consulter sur ce sujet l'excelleote Thèse de M. Riquier sur Textension à l'hyperespace de la méthode de M. Neumann (Paris, Hermann,

ÉQUATION DE LAPLACE. lyS

de Kîrchhoff n'est pas diflérente de celle de M. Neumann : nous Texposerons, en la rattachant à Tinégallté fondamentale de ce savant auteur.

Soit une fonction continue U définie sur la surface convexe S ; en désignant toujours par Ujla valeur de la fonction U au points, je forme l'intégrale

U'(a, b,c)--^- ±.Jp^-{{} - Vs)d^.

Celte intégrale représente, comme nous Tavons vu (§9), une fonction continue de a, 6, c àrextérieur et à Tintérieurde S, dans l'espace avoisinant le point s. Lorsque le point («, b^ c) est au points, elle a une valeur déterminée Uj. L'ensemble de ces valeurs, quand le point s se déplace sur la surface S, définit une fonction U* sur cette surface.

Formons de même l'intégrale

U=(a, 6,0)--:. ^^jy^^-(Ui-Ui)e/(i,

qui permettra de définir une nouvelle fonction U^ sur S, au moyen des valeurs telles que U,^; et ainsi de suite. Nous posons, d'une manière générale,

Celle intégrale donne U^', d'où la définition de U" sur la surface S.

Soient M et m le maximum et le minimum de U, M^ et m,, les maxima et minima de U"; on aura (§ H), puisque U — U, est compris entre M — m et m -- M, valeurs dont la différence vaut

Ml — mi<(M — /n)p,

el, par suite, de proche en proche

Mrt— /n„<{M — /n;p'*.

43. Ce point établi, cherchons une limite pour les fonctions U elles-mêmes. Nous avons vu précédemment (§ 9), que U^ est la

limite vers laquelle tend Tintégrale

quand le point (a, 6, c), supposé extérieur à la surface S, se rapproche indéfiniment du point s.

Or, si nous envisageons cette intégrale pour un point extérieur E, il est facile de trouver pour sa valeur absolue une limite supérieure. En effet, considérons le cône circonscrit à la surface ayant pour sommet E; la courbe de contact partage la surface en deux parties. Pour Tune, cos© est positif, et, pour l'autre, il est négatif. D'ailleurs les intégrales

étendues à Tune et Tautre, sont égales, au signe près : leur valeur absolue représente Tangle solide Q sous lequel, du point E, on voit la surface. Si donc nous appelons toujours M„t et /??„< le maximum et le minimum de U""*, l'intégrale

- Uf^"-""

prise pour le point extérieur E, aura une valeur absolue moindre que

car, pour trouver ces valeurs extrêmes, nous prenons le maximum de U"""* dans la région où cos<p est négatif, et son minimum dans la région où il est positif. Quand E tend vers 5, û tend vers a-rc. Nous avons donc

et, par cooséqueol, d'après l'intégrale du § 12,

De là se tire la conséquence suivante : La série

fst convergente sur la sur/ace S.

Ses termes sont moindres, en effet, en valeur absolue que ceux d'une progression géométrique décroissante.

14. Nous sommes maintenant en mesure de résoudre le problème de Dirichlet, pour une surface convexe S. Soit U la fonction faisant connaître la succession des valeurs que doit prendre, snr S, l'intégrale V de l'équation de Laplace. Nous formons, comme plus haut a série

Aous allons établir que C intégrale

résout le problème de Dirichlet, c'est-à-dire qu^elle satisfait à V équation de Laplace et que V(«, 6, c) tend vers Uj, quand le point (a, b, c) intérieur à S tend vers le point s de cette surface.

Le premier point est évident. Pour démontrer le second, formons la différence

* iJ — ^ esj

en adoptant les notations du § 9 : on aura

Or nous voulons établir que ¥,>= U,; il faut donc montrer

que

-V,,= Uj-i-UJ-4-...--U?-h....

Nous avons vu que l'on peut écrire l'intégrale étant prise pour un point infiniment voisin de s en

dehors de la surface : il en résulte que

l'intégrale étant prise dans les mêmes conditions, égalité qui revient à

Uj -+- U| -4- UJ H-. . .-4- U? -+-. . .-- Ve,,

comme il fallait le démontrer. Nous avons donc

la fonction V(a, b, c) tend vers Us quand le point (a^b^c)tend vers 5, en restant à l^ intérieur de la surface.

13. Le problème de Dirichlet est ainsi complètement résolu pour le cas d'une surface convexe. Diverses méthodes permettent, dans des cas étendus, de passer d'un contour convexe à un contour plus compliqué: nous aurons l'occasion de les étudier dans la théorie des équations aux dérivées partielles.

M. Poincaré adonné une remarquable méthode pour traiter le problème de Dirichlet. Cette méthode très générale, d\le méthode du balayage, suppose seulement que le plan tangent à la surface en chaque point soit déterminé, saufen un nombre limité de points coniques ordinaires {American Journal ofMathematics, t. XII).

L'extension de la méthode de Neumann à des cas plus généraux a fait aussi récemment l'objet de nombreuses recherches. A cet égard le Mémoire de M. Poincaré [La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet (Acta mathematica, t. XX)] est fondamental. On consultera aussi les articles de M. StekloiTetde M. A. Korn {Comptes rendus, 18981900), le Mémoire de M. LiapounofT : Sur certaines questions qui se rattachent au problème de Dirichlet (Journal de Mathématiques, 1898), l'ouvrage de M. Korn sur le potentiel (Berlin, 1899), et le Mémoire de M. Stekloff sur les Méthodes générales pour résoudre les problèmes fondamentaux de la Physique mathématique (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2* série, t. If).