AV=AV
puisque AV2=o, le point {x^y^z) étant extérieur au volume auquel se rapporte le potentiel Va. Or
ATTRACTION ET POTENTIEL. l83
par suite,
)a seconde intégrale ayant un sens parfaitement déterminé. On peut encore écrire, en remarquant que -j- = — -r— >
et, par suite,
Or appliquons la formule préliminaire de Green (§ 10, Chap. V) au volume limité par la surface S du volume un, qui ne contient aucun point de la surface de séparation, et par une petite sphère oayant pour centre le point (^, y, z); il viendra
/ / I \ ^J: ^^ JH ^^ Jt)
J J J \daàa'^dbdb'^ôcdcj
da db de
Pw^^^'»
puisque - satisfait à Téquation de Laplace.
La première intégrale double est étendue à la surface S et la seconde à la sphère o-; dans cette dernière, la direction de la normale correspond à Textérieur de la sphère. Mais nous avons déjà calculé cette dernière intégrale : on a
/• f di
quand le rayon de la sphère d tend vers zéro.
l84 ÉQUATION DE LiPLACB. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
Revenant donc à l'expression de AV|, nous voyons que
AVi^ — 4itp et, par suite,
AV=:.-47rp,
p étant la densité au point {x^y^z) pour lequel on prend le potentiel.
6. Du théorème précédent on peut conclure la valeur trouvée par Gauss de Cintégrale
étendue à une surface fermée quelconque S, la dérivée -r- étant
prise vers l'extérieur de la surface.
Supposons d'abord que le volume limité par cette surface fermée soit tout entier à l'intérieur des masses attirantes. Les dérivées secondes étant continues, on peut appliquer la formule de Green, qui donne
et, par suite.
an
M étant la portion des masses contenues à Tintérieur de S.
Cette formule est générale à cause de la continuité des dérivées du premier ordre et de ce fait que l'intégrale
ne change pas de valeur quand la surface S d'intégration se déforme sans rencontrer de masses attirantes.
Pour le montrer bien nettement, supposons d'abord que la surface S, limitant toujours un volume intérieur aux masses attirantes, ait une ou plusieurs parties communes avec la surface de séparation. La formule subsiste, car, à cause de la continuité, on peut remplacer ces parties communes par une surface intérieure infiniment voisine.
Dans le cas général, que la surface soit extérieure aux masses
ATTRACTION ET POTENTIEL. l85
attirantes ou les coupe, on peut, sans changer la valeur de l'intégrale, remplacer les portions de S extérieures par les portions de surfaces qu'elles découpent sur la surface de séparation, et l'on est ramené alors au cas précédent.
7. La formule de Poisson montre que, en général, les dérivées secondes seront discontinues pour le passage parla surface de séparation, puisque AV passe brusquement de la valeur ^^ro à la valeur — 4'ï^?« Nous allons vérifier ce résultat dans le cas particulier d'une sphère homogène. Soit une sphère homogène de centre O et de rayon R. Calculons le potentiel dû à son attraction sur un point A placé à une distance a du centre. Désignons par M un point quelconque de la sphère à la distance /' du centre; soient MOA = 8, u = AM, et <J/ l'angle fait par l'azimut MOA avec un plan fixe quelconque passant par OA. Un élément de surface rdrM dans le plan MOA, en tournant autour de OA, engendre un anneau dont
le potentiel sur A est
p. 2 Tir* drsin 0 db u
Nous devons donc calculer l'intégrale double
r^ .^ T'usine é£e
Or
U* — a* -H r- — 9.ar cos 0 ;
par suite, quand r reste constant,
sin ^ dB du u ~ ar
Nous aurons donc l'intégrale
y^l^j^rdrjdu.
Je n'ai pas écrit les limites pour u. Nous devons, en effet, pour les fixer, distinguer le cas où le point est intérieur de celui où il est extérieur.
Soit d'abord le point extérieur. Pour une valeur de r, u variera
l86 ÉQUATION DE LÀPLAGR. — DÉV£L0PPEHBI<fT8 EN SÉRIES.
entre a — r et a + r ; donc
et le potentiel sera alors égal à ^^-
Il est donc le même que si la masse attirante était concentrée au centre delà sphère.
Si le point est intérieur, nous séparerons la masse attirante en deux parties : l'une intérieure, Vautre extérieure à la sphère de rayon OA. Pour la partie intérieure, le calcul est le même que plus haut, et l'on A-izoa^ pour valeur correspondante du potentiel. Pour la partie extérieure, u varie entre r — a et r -t- a, ce qui donne le potentiel airp (R^ — a^). Donc, additionnant,
Nous avons ainsi pour le potentiel deux expressions anal jtiques différentes. On a, en désignant par ^,^, z les coordonnées de A, le centre de la sphère étant l'origine,
quand le point {x,y, 5) est à l'intérieur, et
3^pR»
quand il est à l'extérieur. Les expressions et leurs dérivées partielles du premier ordre prennent respectivement les mêmes valeurs sur la sphère de rayon R; il n'en est pas de même pour les dérivées partielles du second ordre.
8. Résumons les propriétés générales du potentiel V (^,^, 5), établies jusqu'ici. C'est une fonction continue dans tout l'espace, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre. Les dérivées secondes sont continues à l'intérieur et à l'extérieur des masses attirantes; la surface de séparation du milieu extérieur et des
masses attirantes sera pour elles une surface de discontinuité. Nous
avons en outre
AV = o à l'extérieur, et
AV = — 47:p
à l'intérieur des masses attirantes. De plus, V(:c,y, z) tend vers zéro quand le point (j;, y, z) s'éloigne à l'infini d'une manière quelconque.
Nous allons établir maintenant que ces propriétés sont caractéristiques-du potentiel. On suppose donc donnés un ou plusieurs volumes i' et une fonction V(a:, ^, z) satisfaisant à toutes les conditions précédentes; p est une fonction également donnée de (^,^, z) à l'intérieur de chaque volume. Montrons que :
V représentera nécessairement le potentiel en {x, y, z) dû à l'attraction d^une matière répartie dans chacun des volumes, la loi de la densité étant représentée en chaque point par la fonction p.
Les masses qui viennent d'être définies auront un potentiel V| et l'on aura
AVi = o, ou AVi = — 4''^P»
suivant que {x^y^ z) sera à l'extérieur ou à l'intérieur. Par suite
que le point soit à l'intérieur ou à l'extérieur des volumes v. Nous avons donc une fonction
continue dans tout l'espace, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre. Nous savons qu'elle a des dérivées secondes continues et qu'elle satisfait à Téquation de Laplace en tous les points de l'espace, en exceptant seulement les surfaces E limitant les volumes V. De plus, U s'annule à l'infini.
Il est facile d'établir que les surf aces fermées E ne peuvent être pour les dérivées secondes des surfaces de discontinuité et que l'équation AU = o sera encore vérifiée pour les points de ces surfaces. Considérons, à cet effet, une surface quelconque S comprenant à son intérieur une de ces surfaces E, et deux autres surfaces
l88 fiQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
E' et E" très voisines de E, Tune extérieure et l'autre intérieure à E. Soit M un point de Tespace compris entre S et E'; nous avons
".=^//(4-:s)--à//(4'-js)
rfcr,
les dérivées étant prises dans les deux cas dans le sens des normales intérieures aux surfaces géométriques S et E'. D'ailleurs (Ch.VI,§l)
