JA

r dnj

par suite, on peut écrire

^ ^T^ J J \ dn r dnj ^r. J J \ dn r dn

^T^ J J \ dn r dn

mais, puisque E' et E" sont très voisines l'une de l'autre, les deux dernières intégrales, où ne figurent que U et ses dérivées premières supposées continues même pour les points de la surface E, seront très peu différentes l'une de l'autre. Comme d'ailleurs leur différence est constante, elle doit être rigoureusement nulle. Donc

Si le point M est à l'intérieur de E, des calculs analogues établissent que U^ est donnée par la même formule. Mais la fonction U du point M, donnée par cette formule, est continue, ainsi que ses dérivées du premier et du second ordre, pour tous les points à l'intérieur de S. La surface E n'est donc pas une surface de singularités, et l'on a, même pour les points de E, AU = o. C'est ce que nous voulions démontrer.

Revenant alors à la fonction U, nous voyons que U et ses dérivées du premier et du second ordre sont continues dans tout l'espace, et de plus on a toujours

AU = o.

Donc d'après le théorème du § 8 (Ch. VI), U se réduit à une constante qui ne pourra être que zéro, puisque la fonction devient nulle à rinfini. Nous avons alors

V = V„ et la fonction V coïncide avec le potentiel Vi.

9. D'après le théorème précédent, on connaîtra le potentiel dû à l'attraction d'un corps, si l'on a pu déterminer une fonction V satisfaisant à toutes les conditions précédentes. C'est ce qu'a fait Dirichlet dans un de ses Mémoires pour le cas de l'ellipsoïde (*). Soit l'ellipsoïde représenté par l'équation

Supposons-le rempli d'une matière homogène de densité p. Nous allons former a />riort une fonction V(^, y^ z), qui jouira des propriétés indiquées et devra, par suite, représenter le potentiel dû à l'attraction de cet ellipsoïde.

On sait que, si l'on considère l'équation en u,

rpt yi ^2

^ ^ a^-^u b^-hu c^-i-u ^ ^'

elle a trois racines réelles comprises entre — a^ et — 6*, — b'^ et — c*, — c^ et -f-oo.

Si le point {x^y^ z) est à l'extérieur de l'ellipsoïde, la racine supérieure à — c^ est positive. Nous allons désigner par u une fonction de x, y^ z qui sera nulle quand ce point sera à l'intérieur de l'ellipsoïde, et sera égale à la racine positive de l'équation (3) quand il sera à l'exlérieur.

( « ) Journal de Crelle, t. 32.

igo ÉQUATION DE LAPLACS. — DÉVELOPPEMENTS EN 8ÉRIES.

Dans ces conditions formons l'intégrale

arî y^

V est une fonction àe x^ y el z : elle représente, nous allons rétablir, le potentiel dû à Tattraction de Tellipsoïde.

Cette fonction est d'abord évidemment continue dans tout l'espace et s'annule à l'infini. La règle de difierentiation sous le signe d'intégration donne de suite, si le point est extérieur,

dW , / a«-f-X

= Ttabcp

(ar* y^ «* \ du

a'4-M 6' -4- a c^-i-u/dx

— Tzabcp-

: — aï

iTzabcpx f

La même formule convient pour le cas où le point est à l'intérieur, en prenant alors, comme nous l'avons dit, u= o. Cette dérivée est continue dans tout l'espace.

Passons aux dérivées secondes; on a, en supposant le point extérieur,

iTzabcp I — /

^"^^ L Ju («*-+- X)/(a*-+-X)(^^«-hA)(c«-hX)

X du

a^-h u dx

v/(a«-Ha)(6*-4- a)(c«-

et des expressions analogues pour-r-^ ®^TT'

En faisant la somme AV, on rencontre l'intégrale

J^^ U«H-X ^i-HX"^c«-+-X;^(ai X)(^»ï-hX)(c«-t-X)'

dont la valeur est trouvée de suite égale à ^

si l'on remarque que l'intégrale indéfinie

j (a2^X"^*«-hX "^c»-+-xj V(-^t-

rfX

v/(a«-i-X)(ô«-i-X)(c«-HX)

est égale

v/(a*-hX)(*«H-X)(c«H-X) De plus

du Y du z du

a^-^ u dx 6* -f- u dy d*"^u dz '

comme on le vérifie en dérivant successivement l'équation (3) par rapport à x^y^ z, et en ajoutant après avoir multiplié respectivement ces équations dérivées par -^ , -r^ — , -; • Nous aurons

^ ^ a^-hu o*-\-u c^-^u

donc

"^ v/(a«-f-a)(^>»-hM)(cî-+-M)J °"

Le point a été supposé extérieur. Si le point est intérieur, il faut supposer — z= — =--=:oet faire m = o. On a alors de

suite

AV = - 4Trp.

La fonction V représente donc le potentiel de V attraction due à Vellipsoïde E.

III. — Attraction d'une couche superficielle; couches simples et couches doubles. Théorème de M. Bertrand.

10. Nous terminons cette étude sur l'attraction par l'examen d'un cas qui se rencontre fréquemment dans les applications. Considérons une surface fermée S, et une surface S' infiniment rapprochée de la première. Soit da un élément de S; menons la normale à cette surface en un point de l'élément d<j^ et désignons par e la longueur de cette normale comprise entre S et S'. Le cylindre ayant pour base <i(T et pour hauteur e a pour volume st/o-; si 8

192 ÉQUATION DE LÀPLAGE. — DÉTELOPPEMKNTS EN SÉRIES.

désigne la densité de la matière formant cet élément de volume, la masse de celui-ci sera

Nous poserons eS = p, et faisant tendre S' vers S, nous allons supposer que le produit eS tende pour chaque point de la surface vers une limite déterminée. Nous concentrons ainsi la masse de l'élément de volume sur l'élément de surface da; c'est une fiction analogue à celle par laquelle on concentre une masse déterminée en un point matériel. La masse attirante va donc être supposée concentrée sur la surface S, avec la densité superficielle p. 11 pourra être utile, dans certains cas, de revenir à l'origine même de cette notion.

Le potentiel dû à l'attraction d'une couche superficielle sera l'intégrale

étendue à la surface S, r désignant toujours la distance du point attiré A de coordonnées x^y^ z k l'élément rfo*. Quand le point A ne fait pas partie de la surface S, V est évidemment continue ainsi que ses dérivées partielles, et l'on a

X, Y, Z désignant les composantes de l'attraction de la couche sur A. Le potentiel V est encore parfaitement déterminé quand le point est sur la surface, et ne cesse pas d'être une fonction continue quand A traverse la surface. Pour le montrer, traçons sur la surface une petite courbe fermée y, et supposons que le pied M de la normale menée du point A à la surface tombe à l'intérieur de cette courbe. Prenons comme axe des z la droite MA, le point M étant l'origine, et deux axes rectangulaires quelconques dans le plan tangent à la surface en M. Le potentiel sera représenté par

^ dx dy \/ \ '\- p'^ -\- q'^

en posant

MA=A, ^=/,, -^q.

ATTRACTION ET POTENTIEL. igS

Nous n'avons à nous préoccuper que du potentiel dû à Tattraction de Taire limitée par y. L'intégrale précédente doit donc être étendue à la projection de cette aire sur le plan des xy ; mais cette intégrale est moindre que

p dx dy /iH- /?« H- ^«

et, par suite, en prenant les coordonnées polaires R et X dans le plan (iry), moindre que

TA^Rt/O /i -+-/?»-+- ^«,

intégrale qui sera très petite si l'aire limitée par y est très petite. Donc, quand le point A traverse la surface, le potentiel V ne cesse pas d'être une fonction continue.

Il n'en est pas de même pour les dérivées partielles, qui cessent d'avoir un sens quand le point est sur la surface. Sans m'arrêter sur cette question ( * ), je veux seulement faire connaître à ce sujet une formule essentielle qui va être très utile dans la démonstration des deux théorèmes que nous démontrerons ensuite.

H. Considérons une surface fermée S et une couche étendue sur la surface ; on la suppose telle que Valtraction, sur tout point intérieur, soit nulle. Dans ces conditions, le potentiel dû à l'attraction de cette couche sera constant à l'intérieur et, par conséquent, sur la surface S qui est dite alors surface de niveau (c'est-à-dire surface où le potentiel est constant). Soit G la valeur constante du potentiel sur S; à l'extérieur, le potentiel est

(*) La proposition fondamentale à cet égard est la suivante : Prenons pour

origine un point de la surface, pour plan (a?, jk) le plan tangent, et la normale pour

àV dV axe des z. Les composantes tangentielles — » -r— sont continues, tandis que

la composante normale -x^ tend vers deux limites différentes, suivant que le

point {Xjy,z) se rapproche de Torigine en restant d'un côté ou de l'autre de la surface. La différence des deux limites est 4''^?»» Po étant la densité à l'origine. On pourra consulter, par exemple, sur ce sujet les leçons de M. H. Poincaré sur le Potentiel newtonien.

194 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉYELOPPBMEl^TS EN SÉRIES.

une fonction de la position du point {x^y^ z)el qui varie depuis la valeur G jusqu'à zéro, quand le point s'éloigne indéfiniment. Envisageons une surface de niveau S' infiniment voisine de S et un élément rf<j sur celle-ci. Par les points du contour de cet élément, menons des courbes orthogonales aux surfaces de niveau; ces courbes formeront une sorte de surface cjlindrique, et je considère le volume limité par ce petit cylindre et les deux surfaces S et S'. Appliquons à ce volume la relation générale de Gauss (§ 6)

Les termes de l'intégrale relatifs à la surface latérale et à l'élément d(T sont nuls, puisque le cylindre a ses génératrices normales aux surfaces de niveau et que, d'autre part, V reste constant quand on pénètre dans la surface. L'intégrale se réduit donc à

dV l'élément -j- rfo' relatif à l'élément dv' découpé sur la surface S'

par le cylindre. D'ailleurs, on a (§ 10)

M = E 8 rf(T = p d<jf et, par suite, l'égalité précédente se réduit ici à dV

da' = — 4 ^p di.

Or, faisons tendre S' vers S, le rapport -^ tend vers l'unité, et

il nous reste

^~ ^Tz dn'

dV formule capitale où il faut bien entendre que -t- représente la limite de la dérivée relative à la normale extérieure pour la surface de niveau S', quand celle-ci se rapproche indéfiniment de S.

Voici une conséquence intéressante de cette formule. Supposons que l'on ait, sur la surface S, deux couches différentes n'exerçant aucune action à l'intérieur. Soient, en chaque point, p et p< les densités superficielles pour ces deux couches, V et V, les potentiels qui leur correspondent. V et V| auront chacun une valeur constante sur la surface, soit m le rapport de ces deux

constantes. Les deux potentiels

auront la même valeur sur S; ils devront donc coïncider à Textérieur(§ 8). Donc, pour chaque élément, nous avons

dn dn

et, par suite,

p = mp,.

Les deux densités sont dans le même rapport en tous les points de la surface.