CHAPITRE I

I. — Définition de l'intégrale définie pour une fonction continue ; ses propriétés fondamentales.

1. Le Calcul intégral a pris naissance le jour où l'on s'est posé la question suivante : Une fonction y(^) étant donnée, existe-t-il une fonction qui ad mette y*(j:) pour dérivée, c'est-à-dire une fonction telle que Ton ait

On a d'abord répondu à cette question par une représentation géométrique qui n'a aucune valeur par elle-même, mais qui n'en a pas moins fait faire de grands progrès à la Science. On construisait

la courbe ^=/(j:), et l'on considérait l'aire comprise entre celte courbe, l'axe des x et deux parallèles à l'axe des y^ l'une fixe, l'autre variable; on montrait que l'aire, considérée comme fonction de l'abscisse x de cette dernière ordonnée, est une fonction de X ayant /(^) pour dérivée. Il est clair qu'à moins d'admettre que la notion d'aire est une notion première, il n'y a pas là une réponse rigoureuse au problème posé.

Nous allons supposer que la fonction /(x) est une fonction continue de x entre les limites où restera cette variable. Les considérations suivantes conduisent d'elles-mêmes à la combinaison analytique qui, dans le Calcul intégral, joue le rôle essentiel.

Admettons, pour un moment, qu'il existe une fonction^ satisfaisant à la relation (i), la fonction y prenant la valeur ^o pour a: = a, et la valeur Y pour x=^b. Partageons l'intervalle (a, b) en n intervalles et soient X\ , ^j, . . . , Xn-\ les valeurs de x aux points de subdivision; on désignera par jKi,j^2> • • • ,>'//i les valeurs correspondantes de y. Si l'intervalle x^ — a est suffisamment

petit, le quotient "^-—^ diffère peu de/(a), et nous écrivons les

relations approchées

^i— 7o = (a?!— a)/(a), Ji— ri= (a^ï— ar,)/(a:,), )

En additionnant membre à membre, il vient

Y— 7o = (a?i~ a)f{a) -f- (a:, — art)/(a?i)-h . . . -4-(ô — :r„,)/(a:„i),

égalité approchée, mais qui, vraisemblablement, sera d'autant plus approchée que le nombre des intervalles sera plus grand, chacun d'eux se rapprochant de zéro. Nous sommes donc ainsi conduit, étant donnée la fonction continue /(x), à étudier la somme

{x^ — a)f{a) -+- . . . -^ {b — Xn-\)f(xn-x).

2. Dans cette étude, nous nous appuierons sur le lemme suivant, où nous entendrons par oscillation d'une fonction continue dans un intervalle la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs qu'elle prend dans cet intervalle.

Soienl un intervalle (a, 6), pour fixer les idées a<cb, et une foncliony(a:) continue dans cet intervalle. Étant donné un nombre positif e, aussi petit que l'on voudra, on peut toujours trouver une quantité positive S telle que, dans tout U intervalle compris dans (a, b) et inférieur à 8, V oscillation de la fonction soit inférieure à e.

Ce fait résulte immédiatement de la continuité. Supposons que [intervalle (a, b) soit partagé en un certain nombre de parties égales, chacune d'elles en ce même nombre de parties, et ainsi de suite. Je dis que nous arriverons ainsi à des intervalles dans chacun desquels l'oscillation de f{x) sera inférieure à-- Admettons,

en effet, que notre lemme soit inexact; qu'arrivera-t-il? Si loin qu'on pousse la division, on aura au moins un intervalle dans

lequel l'oscillation sera supérieure à -> dans cet intervalle un autre

intervalle où l'oscillation sera encore supérieureà-* et ainside suite.

Ces intervalles étant compris les uns dans les autres, et tendant vers zéro, les extrémités de chacun d'eux tendent forcément vers un même point limite a; nous arrivons donc à cette conclusion que

l'oscillation de la fonction serait supérieure à - dans un intervalle

(a — A, a H- A), h étant aussi petite qu'on voudra, ce qui est impossible puisque la fonction est continue. D'ailleurs a pourrait coïncider avec a ou 6, mais le raisonnement reste toujours applicable.

Pour le mode de subdivision adopté, il arrivera donc un moment où l'oscillation dans chaque intervalle sera inférieure à-;

prenons alors pour d la longueur de cet intervalle, ce nombre satisfera aux conditions de l'énoncé, puisqu'un intervalle de longueur S se composera toujours au plus de deux parties, dans chacune desquelles l'oscillation sera inférieure à -•

Cela posé, nous pouvons démontrer le théorème fondamental qui suit :

TnéORÈME. — La somme

ixx^a) f(a) -h ... -f- (6 — Xn^i )f{Xn-i )

tend vers une limite, quand tous les intervalles (^i+i, x/) tendent vers zéro, suivant une loi quelconque, en même temps que leur nombre augmente indéfiniment.

Prenons d'abord une première loi de subdivision telle qu'on passe d'une subdivision à la suivante en fractionnant chacun des intervalles. Nous poserons

et nous désignerons par M/^i et /n/^i le maximum et le minimum de f{x) dans cet intervalle ; dans ces conditions, les deux sommes, qui comprennent la somme proposée,

ont chacune une limite, car la première va constamment en décroissant, et la seconde en croissant. Les deux limites sont d'ailleurs égales, car si nous prenons une subdivision telle que tous les intervalles soient moindres que 8, on aura M/ — mi <! e, et la différence des deux sommes sera inférieure à

s(8, H- Si ■+-... -H 8,4) ou ê(6 — a).

La différence des deux limites étant plus petite que tout nombre donné, puisque e est arbitraire, sera donc rigoureusement nulle. Soit |JL la valeur de cette limite. Il faut maintenant montrer que tout autre mode de subdivision conduira à la même limite.

Considérons un certain système d'intervalles a;, (a, j:i,...,:rrt 1,6), compris dans la loi de subdivision qui nous a donné la limite [jl; nous supposons, comme il est permis, que tous ces intervalles soient moindres que 8. Concevons alors un autre mode de subdivision, et dans celui-ci un système d'intervalles j^, (û^jJKm • • • ? 6)> tel que le plus grand des intervalles j^ soit inférieur au plus petit des intervalles x. Entre deux valeurs consécutives quelconques de X se trouvera au moins une valeur de^. Écrivons sur une même ligne l'ensemble des valeurs de ;r et^

«» Ji»J^t» ... , J^[jija7i,7jn-i, ... , ^v, arj, j'v+i, . . . , 6.

Soient Sj. et S^ les sommes relatives aux subdivisions x et y.

Nous pouvons écrire S^ de la manière suivante :

Cvi— a)/(a)H-(^,~j^i)/(^0-+-----+-(^ïx--rii-i)/(rii-i)-^(^i--7ii)/(rii)

-^ (j^V-^i — ^i)/iyv)-^ H-(a^j— ^v)/(7v)

-+- C^v-f-i — .'Pî)/( J'v) -+-

Comme /(y i), . . . , /{y\i) diffèrent de /(a) de moins de e, la première ligne pourra se mettre sous la forme

/(a){Xi — a) -r- Ri avec | Ri| <e(iFi— «)

(le crochet \a\ indiquant la valeur absolue de a); de même la seconde ligne pourra s'écrire

/(ari)(jr, — a:,)-4- Ri avec |Rj| <e(a:, — a?,),

et ainsi de suite. Si donc on forme la différence Sx — S^, on aura évidemment

I Sor-S^l <e(6-a).

Or Sx tend vers la limite [jl; il en résulte qu'à partir d'un certain momenl S^. diffère de [jl d'aussi peu qu'on veut, c'est-à-dire a pi pour limite, comme nous voulions l'établir.

La limite dont l'existence vient d'être démontrée s'appelle une intégrale définie et se représente par le symbole

Ç n^)dx,

qui s'énonce : somme de a à b f{x)dx.

Le signe /rappelle l'origine de cette limite de sommes; la lettre

X sous le signe d'intégration peut être remplacée par toute autre

lettre; l'expression / /(^)rf^ est identique à la précédente.

On a supposé, pour fixer les idées, a<Cb^ mais on établira évidemment de la même manière l'existence de l'intégrale dans le cas où a est supérieur à h,