Au lieu de considérer la somme précédente, on eût pu con
sîdérer d'une manière plus générale l'expression
{^i — a)f{a -f- OiOi) -4- (a?,— a7,)/(a7l-^- 6,8,) ■+-. . . 4- ( 6 — Xn-i )/(Xn-i -+- 0„ 8„),
les quantités Q étant prises arbitrairement entre zéro et un. La limite de cette somme sera, quels que soient les Q, la même que tout à l'heure. En effet, les intervalles étant supposés plus petits que 8, cette somme diffère de la précédente d'une quantité moindre que e (6 — a), et l'assertion devient évidente.
Les remarques suivantes résultent immédiatement de la définition de l'intégrale. On a tout d'abord
f f(x)dx-^ f f{x)dx = o,
car les éléments des deux sommes sont deux à deux égaux et de signes contraires.
Plus généralement, on aura
/f{x)dx^ I f(x)dx'i- f f(x)dx = o,
comme on a en Géométrie a6 -h 6c + ca = o, en tenant compte du principe des signes.
Supposons maintenant que dans Tiiltervalle (a, b) la fonction continue /(x) ait un maximum M et un minimum m, l'intégrale
f{x)dx
sera comprise entre M {b — a) et m{b — a), en remarquant que I dx = b — a. On pourra donc écrire
" f(x)dx = X(i—a),
A. étant compris entre M et m. La fonction /{x) prendra la valeur A pour une valeur au moins Ç comprise entre a el b (*)] nous
(') Une fonction continue dans un intervalle /^j;) atteint effectivement son maximum et son minimum dans cet intervalle, et elle prend toutes les valeurs intermédiaires. Nous n'insistons pas sur ce théorème, démontré pour la première
INTÉGRALES DËPIMES.
avons ainsi
f{x)dx^.f{\){b--a).
i étant compris entre a et b.
La formule précédente se généralise immédiatement. Considérons en effet l^intégrale
(a) / f(x)o(x)dx
et admettons que © (^) soit positif entre les limites de l'intégrale. Désignons encore par M et /n le maximum et le minimum de f (x) ; nous aurons
M <p(a)(xi — a) l^/{a)o(a){xi — a) ";:• m^(a)(xi — a), yi^(xi){Xi — Xi}:'/(Xi)9(Xi)(xt~Xt)'>m^{xi)(xt — Xi),
yi9(x„^x){b—Xn-i)>/{Xn-i)^(Xn-i){b-'X„-i)-^ mo{Xn^i){b —X„-i)
si Ton suppose, pour fixer les idées^ que a soit inférieur à 6.
Ajoutant membre i\ membre et passant à la limite, on voit que l'intégrale (2) sera comprise entre
M / 9{x)dx et m j ^{x)dx. On pourra par suite écrire
f /(x)^(x)dx=/{^) f o(x)dx,
\ étant compris entre a et 6.
4. M. Bonnet a donné une formule analogue à la précédente et utile dans plusieurs applications. Avant de l'établir, démontrons un lemme préliminaire employé souvent par Abel (Mémoire 5///* la formule dubinome. Œuvres complètes, t. I). Envisageons un
fois par Cauchy, et qu'on admet sans peine; on en trouvera par exemple la démonstration dans le Mémoireàt. M. Darboux^u/* les fonctions discontinues {Annales de V École Normale^ 1875).
nombre quelconque de quantités positives décroissantes
BO, fil, . . ., Ep
et un même nombre de quantités réelles quelconques
Mo, wi, — wp.
Supposons que les sommes
Si= UQ-i- Ml -i- ...-+- W| ( t = O, I , '2. . . . , p )
âoient toutes comprises entre deux nombres A et B; nous allons montrer que la somme
tpc^p
(3) 6o"0-+- SiM, -+- .
est comprise entre Ae^ et Bsq.
La somme (3) peut en effet s'écrire
*o ( Êo — Si ) -+- *i (êi — Êj ) -h . . . H- 5p-i ( ep, — £p ) -4- ^p6p.
Toutes les différences entre parenthèses sont positives. Si à la place des s on met A ou B, on aura des limites inférieure ou supérieure de la somme (3), ce qui nous donne
A So < £o "o -+-••• -f- Ep Mp < B So
comme nous voulions l'établir.
Ceci exposé, considérons avec M. Bonnet l'intégrale
en supposant que ç [x) soit positif et décroissant, quand x varie de a à 6.
L'intégrale précédente est la limite de la somme
Or cette somme, d'après le lemme d'Abel, est comprise entre
Aç(a) et liçp(a)
en désignant par A et B la plus petite et la plus grande des
sommes
/{a){xx — a)
fia) (xi — a ) ^/{xx )(xn — x^)
/{a)(xi--a)-h -h/(x/i-i.)(^ — ^//-i)-
Passons à la limite. On voit que l'intégrale proposée sera comprise entre
A,cp(a) et Bio(a),
A| et B| désignant le minimum et le maximum de
f S{x)dx
quand x varie entre a et 6. On peut donc écrire, et c'est le théorème de M. Bonnet
I /{x)^(x)dx = ^(a) f{x)dx {a<\<h).
Dans le cas où (p {x) serait positif et croissant, on démontrerait de la même manière la formule
f /{x)ff{x)dx==o{b) f f{x)dx {a<\<b).
