INTRODUCTION

Ci' second Volume contient les Leçons que j'ai faites à la Sorbonne pendant ces deux dernières années. Il est princi paiement consacré aux fonctions harmoniques et aux fonctions analytiques. Sans négliger le point de vue de Cauchy dans la théorie de ces dernières fonctions, je me suis surtout attaché à une étude approfondie des fonctions harmoniques, c'est-à-dire de l'équation de Laplace; une grande partie de ce Volume est consacrée à cette équation célèbre, dont dépend toute la théorie des fonctions analytiques. Je me suis arrêté longuement sur le principe de Dirichlet, qui joue un si grand rôle dans les travaux de Kiemann, et qui est aussi important pour la Physique mathématique que pour l'Analyse.

Parmi les fonctions particulières que j'étudie, je signalerai les fonctions algébriques et les intégrales abéliennes. Un Chapitre traite des surfaces de Riemann, dont l'étude a été laissée un peu trop de côté en France; on peut, par une représentation géométrique convenable, rendre intuitifs les principaux résultats de cette théorie. Cette vue claire de la surface de Riemann une fois obtenue, toutes les applications se déroulent avec la même facilité que dans la théorie clas-

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sique de Cauchy relative au plan simple. Mais il importe de juger à sa véritable valeur la belle conception de Riemann. Ce serait une vue incomplète que de la regarder seulement comme une méthode simplificative pour présenter la théorie des fonctions algébriques. Si importante que soit la simpliiication apportée dans cette étude par la considération de la surface à plusieurs feuillets, ce n'est pas là ce qui fait le grand intérêt des idées de Riemann. Le point essentiel de sa théorie est dans la conception a priori de la surface connexe formée d'un nombre limité de feuillets plans, et dans le fait qu'à une telle surface conçue dans toute sa généralité correspond une classe de courbes algébriques. Nous n'avons donc pas voulu mutiler la pensée profonde de Riemann, et nous avons consacré un Chapitre à la question difficile et capitale de l'existence des fonctions analytiques sur une surface de Riemann arbitrairement donnée; le problème même est susceptible de se généraliser si l'on prend une surface fermée arbitraire dans l'espace et qu'on considère l'équation de Beltrami qui lui correspond.

J'avais annoncé dans le premier Volume que je comptais m'occuper surtout dans ce Traité de la théorie des équations difTérenlielIes. On trouvera ici un seul Chapitre consacré à cette théorie telle qu'on l'entend ordinairement dans les Ouvrages classiques. Je pourrais prétexter que l'équation de Laplace est une équation différentielle ; j'aime mieux avouer que mon plan s'est un peu élargi. Je m'occuperai particulièrement, dans le Tome III, de l'étude des équations difTcrentielles, mais je n'oserais pas affirmer cependant que je n^aurai pas encore plusieurs parenthèses à ouvrir.

M. Simart m'a continué son précieux concours. Je lui

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dois plus encore pour ce second Volume que pour le premier; je lui adresse mes affectueux remerciements pour les conseils qu'il m'a donnés en relisant mon manuscrit et pour la peine qu'il a prise à la correction des épreuves.

Em. picard.

Paris, le 19 mars 1893.