IV. — Des classes de courbes algébriques. Courbes normales

H. Riemann a introduit dans la Science l'importante notion (le classes de courbes algébriques.

Deux courbes algébriques,

sont dites appartenir à la même classe quand elles se correspondent point par point, c'est-à-dire, comme nous avons déjà eu l'occasion de l'indiquer, quand on a entre les points des deux courbes la correspondance

x'=^(x,y), R et R| étant rationnelles en x et y, et qu'inversement ces rela-

lions peuvent s'écrire, en tenant compte des équations des courbes,

P et P| étant encore rationnelles en x' et y.

Faisons d'abord la remarque capitale que toutes les courbes d'une même classe sont de même genre. On le démontrera tout de suite en considérant que toute intégrale de première espèce de F se transforme en une intégrale de première espèce de / et inversement; le nombre de ces intégrales linéairement indépendantes est donc le même pour les deux courbes, ce qui revient à dire qu'elles sont du même genre.

On a cherché les courbes les plus simples que l'on puisse considérer comme les représentants d'une classe de courbes algébriques. Le problème n'est évidemment pas déterminé (tout dépend de l'idée que l'on veut se faire de la simplicité d'une courbe), aussi a-t-il été traité dans des directions différentes. Nous commencerons par la transformation, étudiée d'abord, quoique d'une manière trop sommaire, par Clebsch et Gordan (').