III. — Des transformations birationnelles des oourbes

en elles-mêmes.

8. Avant d'étudier les transformations birationnelles d^une courbe en une autre courbe, comme nous le ferons dans la seC' tion suivante, arrélons-nous sur les transformations birationneU^^ d'une courbe en elle-même. Une courbe

admettra une transformation birationnelle en elle-même si, p^^^' sant

P et R étant des fonctions rationnelles de x et j^, le point lx\ décrit la courbe / quand (a:, y) la décrit lui-même et que, plus, on puisse tirer de ces deux équations

Pi et R| étant encore rationnelles, en tenant compte, s'il est cessaire, des relations /(^,^) = o eif{x'^y') = o.

Un cas intéressant est celui où la transformation précédei dépend d'un paramètre arbitraire. M. Schwarz a montré (*) (^^l les courbes du genre zéro et du genre un sont les seules (^^i

(') ScuwARZ, Journal de Crelle, t. I.XXXVII.

puissent être transformées en elles-mêmes par une substitution birationnelle renfermant un paramètre arbitraire.

Je vais démontrer le théorème de M. Schwarz en suivant la voie qui mV servi à établir une proposition analogue pour les surfaces algébriques (*). Soit

la transformation birationnelle où nous mettons en évidence le paramètre / dont P el R sont des fonctions analytiques d^ailleurs quelconques. Considérons p intégrales distinctes de première espèce

J J'y ' ••" J—Ty ^'^'^^

en supposant la courbe de genre supérieur à un. L'élément

Jy'

quand on remplace x^ ci y par leurs valeurs (8) en x ely^ prendra

la forme

Qi(x,y)dx Qp(x,y)dx

A\ tt; -r . . . -t- Ap ^77 >

J) Jy

puisqu'une intégrale de première espèce doit nécessairement, après la transformation, rester encore une intégrale de première espèce. Écrivons donc

, , ^x{T\y)dx' Q,(x.y)dx Q^(x,y)dx

(9) ^, —Al -; h... -H A,, -p

Jy' Jy Jy

Les coefficients A, qui sont des constantes par rapport à a; et^, pourraient a priori être des fonctions du paramètre t, mais nous allons montrer qu'ils n'en dépendent pas. On le verra tout de suite par la considération des périodes. Donnons en effet à t une valeur arbitraire, mais fixe, et faisons décrire un cycle au point (x, y)^ auquel correspondent pour les p intégrales envisagées

(•) E. Picard, Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes {Journal de Mathématiques, Chap. III, i88g, et Comptes rendus, iS86).

les périodes

le point (x', y) décrira aussi un cycle, et soit tù\ la période correspondante évidemment indépendante de t. On aura donc

(o'i = A| (Oi-f- Aj (Oj-h. . .-f- Ap lùp.

En faisant décrire à {^jy) (p — i) autres cjxles, nous obtiendrons p — 1 autres équations de cette forme, et, comme on peut toujours supposer les p cycles tellement choisis que le déterminant des périodes correspondant à ces p cycles soit différent de zéro (on pourra prendre par exemple les cycles correspondant aux périodes relatives aux coupures C), on voit que les quantités A se trouvent complètement déterminées par des relations où ne figure pas le paramètre t : elles sont donc indépendantes de ce paramètre.

On aura de même

r.n^ Qi(x\y)dx' Qi(x,y)dx . Qp(a:,y)dx

Jy' Jy Jy

les coefficients B étant aussi indépendants de t. De (9)et(io), on conclut

Qi(^',/) BiQi(^,r)--...-r-B;,Qp(ar,^)*

Or une telle égalité amène à une contradiction, car elle établit entre (^, ^) et (x'jy) une relation où ne Jigure pas de paramètre arbitraire, A tout point (^,^) de la courbe ne pourrait correspondre alors qu'un nombre limité de points (x'y y) de cette même courbe, tandis que, parles relations (8), le point {x\y') varie d'une manière continue avec /, quand {x^y) reste fixe. L'hypothèse /? > i est donc impossible, et le théorème est établi. On pourrait établir que les A ne dépendent pas de t sans recourir aux périodes, mais je me contenterai de renvoyer pour ce point à mon Mémoire cité plus haut.

9. La démonstration qui vient d'être donnée du théorème de M. Schwarz permet d'établir immédiatement une proposition énoncée, je crois, pour la première fois par M. Klein : Peut-il

arriver qu'une courbe de genre supérieur à Tunilé admette une infinité discontinue (*) de transformations birationnelles en ellemême? La réponse est encore négative, et on peut la légitimer en adoptant la voie que j'ai suivie pour établir {loc. cit.) un théorème analogue relatif aux surfaces. Supposons que nous ayons une courbe admettant une infinité de transformations birationnelles en elle-même. Prenant une quelconque de ces transformations

y=P(ar,^)

et opérant comme plus haut, nous serons conduit à une relation de la forme (i i). Toutes les transformations qui transforment la courbe en elle-même doivent donc être données par une relation de cette forme où Ton donne aux constantes A et B des valeurs convenables. Or, partant a priori de cette équation (ii), nous pouvons chercher à quelles conditions elle définira une correspondance birationnelle entre {x^y) ei{x'^y'). Ces conditions établissent évidemment un certain nombre de relations algébriques enfre les A et les B. Alors, de deux choses Tune : ou bien ces relations déterminent un uomhva Jini de valeurs de A et B, et il n^y a dans ce cas qu'un nombre limité de transformations de la courbe en elle-même; ou bien une ou plusieurs des quantités A et B restent arbitraires, et alors la courbe admet une transformation birationnelle renfermant un paramètre arbitraire. Or cette dernière circonstance est impossible si le genre est supérieur à un. Il ne peut donc y avoir pour les courbes de genre supérieur à un qu'un nombre limité de transformations birationnelles de la courbe en elle-même (^).

10. Il est facile de voir que les courbes de genre zéro et un admettent une suite continue de transformations birationnelles en elle-même. La chose est évidente pour les courbes de genre

( * ) Nous entendons, par une infinité discontinue, des transformations en nombre infini ne dépendant pas de paramètres arbitraires.

(') Pour l'étude des courbes de genre supérieur à Tunité admettant un nombre fini de transformations birationnelles en elle-même, on lira l'intéressant Mémoire de M. Hurwitz {Gôttinger Nachrichteny 1887).

zéro pour lesquclJcs on peut, comme on sail(*), exprimer x el^en fonction rationnelle d'un paramètre 0 et de telle manière qu'à un point arbitraire de la courbe ne corresponde qu'une valeur de 0. Soient donc

en remplaçant 0 par —^ — ,» où «, 6, r, d sont des constantes ([uelconques, nous aurons

et il est manifeste qu'il y aura entre {x^y) et {x^^y) une correspondance birationnelle dépendant de trois paramètres arbitraires. Passons aux courbes de genre un. Cette courbe, supposée de

degré /?i, a alors

points doubles. Marquons sur la courbe m — 2 points A en dehors des points doubles (^). Par ceux-ci et les points A, on peul faire passer un faisceau d'adjointes d'ordre m — 2 dépendant d'un paramètre arbitraire, puisque

m( m — 3 ) (m — oM m -^-\^ m — x = I.

Soit (li) P,-hXP, =o

l'équation de ce faisceau oii X est un paramètre arbitraire. Le nombre des points de rencontre variables des courbes de ce faisceau avec la courbe est

\m{m — 2) — m{m — 3) — (m — 2), c'est-à-dirc 2.

Ces points sont certainement tous deux mobiles avec \. L'un de ces points peut en effet être choisi arbitrairement puisqu'on peul

(') Ce théorème élémentaire sera établi au Chapitre XVII.

(') Nous faisons Thypothèse que la courbe a seulement des points doubles uniquement pour simplifier les calculs.

iioisîr X de telle manière que la courbe (12) passe en un point irbîtraîre, et le second point ne peut pas être indépendant de X, ;ar alors la courbe serait unicursale.

Cette remarque faite, les deux points {x^y) et (^', ^') de ren- ;ontre variables avec X se correspondent uniformément, et cette correspondance définit par suite une transformation birationnelle le la courbe en elle-même. Or cette transformation dépend de a position des points A bases du faisceau (i^). Supposons que 3armi ces points un seul varie, soit Ai ; on voit de suite que la correspondance entre {x^y) et {x'^y) varie aussi, sinon nous mrions un faisceau de courbes d'ordre m — 2, passant par les )oints fixes {x^y), (-^'j J^') ^^ '^s points A2, . . . , Aot 2> c[ui aurait e seul point de rencontre mobile A|, et la courbe serait unicur- »ale.

Nous avons donc formé, pour la courbe de genre un considérée, me transformation birationnelle dépendant d'un paramètre arbiraire. Ajoutons quelques remarques importantes. J'écris la transormation sous la forme

aissant en évidence les coordonnées (xt^yt) du point que nous ivons désigné par A|. En prenant {x\^y\) à la place de (^i, J'O' >n aura

;t de ces deux transformations résulte une transformation birajonnelle entre (x'^ y) et (x'^, y^). On peut la regarder comme jne transformation dépendant d'un paramètre arbitraire {x\^y\)^ ;t, pour une certaine valeur de ce paramètre (x\ = Xtj y\ =yi)j îlle se réduit à la substitution identique. Nous pouvons donc, supprimant maintenant un accent, former une transformation birationnelle de notre courbe

.3. i ar'=P(:r,^,0,

dépendant d'un paramètre arbitraire t et se réduisant, pour une

'l42 CHAPITRE XV.

certaine valeur de t, soit Ùq^ à la substitution identique

Or prenons l'intégrale de première espèce : en raisonnant comme plus haut, nous avons

q(x.y)dx __ Q(x\y)dx'

A ne dépendant pas de t. Or, pour f = ^o? on a x'=^x^ y=y\ donc A = I ; nous pouvons donc écrire

q(x,y)dx Q(T'.y')dx'

Jy " fy '

et la transformation (i3) donne Tintégrale générale de cette équation différentielle, t étant le paramètre arbitraire. On peut encore dire que la relation algébrique (i3) équivaut à la relation transcendante

''^ q{x,y)dx (^""-y Q(x\y)dx' ^ ^^

011 h est une constante arbitraire. Dans le cas de l'intégrale elliptique, Téquation différentielle que nous venons ainsi d'intégrer est la célèbre équation d'Euler.