La courbe hyperellip tique
de degré ip -\-i ou ?./> -h 2, que nous veaons de faire correspondre uniformément à la courbe / de la classe hyperelliptique, n'est pas la courbe du plus bas degré que nous puissions indiquer. Les adjointes d'ordre m — 3 ne pouvant conduire, dans ce cas, à une transformation birationnelle, employons des adjointes d'ordre m — 2 : ces courbes ont avec/
m-H ip — 1
points de rencontre, en dehors des points multiples. Si nous les assujettissons à passer par m -\- p — 4 points pris arbitrairement sur la courbe, nous aurons un réseau à trois paramètres
(18) a, P, (x, y) ■+- «2 P,(x, y) -+- aj Pa(a7, y) = o,
et les points de rencontre mobiles seront au nombre de
Posons alors
La courbe f se transformera en une courbe F, et les deux courbes se correspondront point par point. Pour établir en toute p. — II. 29
45o CHAPITRE XV.
rigueur celle correspondance biralionnelle entre f el F, il faul monlrer que toutes les adjointes d'ordre m — 2 passant par in-\- p — 3 points quelconques ne passent pas par un ou plusieurs autres points.
Or cela est impossible; car prenons /> -h i pojnts arbitraires A|, Aa, ..., Ap^i, et faisons passer par ceux-ci une adjointe d'ordre m — 2 ; elle rencontrera la courbe en dehors de ces points et des points multiples en /w -h/> — 3 autres points, que nous désignerons par B. Si toutes les adjointes dWdre m — 2 passant par lefi B passent par un ou plusieurs autres points fixes, ceux-ci devront être compris nécessairement parmi les points A, et, en prenant alors une adjointe Pi {x^y) distincte de l'adjointe P(jr,/) dont nous sommes parti, le quotient
n'aura pas pour pôles tous les points A, mais seulement quelquesuns d'entre eux. On aurait donc une fonction ayant moins de p -h I pôles arbitrairement choisis, ce qui est impossible.
Le degré de la courbe F est égal à /? -h 2, puisque le réseau (18) rencontre la courbe en/> -4- 2 points mobiles.
Nous n'avons pas supposé jusqu'ici, dans ce paragraphe, que la courbe fût hyperelUptique. Si nous revenons à cette hypothèse, nous obtiendrons une courbe particulièrement remarquable en procédant de la manière suivante. On prend m — 2 des m -i-p — 4 points bases du réseau (18) en ligne droite. Parles/? — 2 autres points on peut faire passer deux adjointes distinctes Qi et Q2 d'ordre m — 3, et ces courbes du réseau Qi -i-)^Q2 =0 ont seulement deux points de rencontre mobiles avec X. Posons alors
^li^y y) = (ax -hby-^c) Q, (Xy y), ^ii^y y) = (ax -^by-hc) Q,(ar, y\
en désignant par ax -h by 4- c = o la droite des m — 2 points. Parmi les/? + 2 valeurs de (x^y) correspondant à X, deux seulement varient avec X, et les valeurs de Y correspondant aux J5 autres sont infinies. Il ne correspond ainsi que deux valeurs finies de Y à une valeur arbitraire de X. Notre courbe de degré /?-!-»
a donc un point multiple d'ordre p à l'infini. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Toute courbe de genre p hyperelliplique correspond point par point à une courbe de degré p -{- 1 ayant un point multiple d* ordre p.
On peut d'ailleurs vérifier que, inversement, toute courbe de degré /? -h a, avec un point multiple d'ordre p à tangentes distinctes, est de genre/? et du Ijpe hyperelliptique.
Le genre de notre courbe sera donc
- — — ou p.
Les adjointes d'ordre/? 4-2 — 3 ou/? — 1 seront ici des courbes d'ordre/? — i, ayant le point multiple O d'ordre/? de la courbe comme point multiple d'ordre p — i : elles sont donc formées de p — I droites arbitraires passant par O. La courbe est hyperelliptique, car toute adjointe d'ordre p — i passant par un point A de la courbe va nécessairement passer par un autre point qui est le point (en dehors de A et O) où la droite AO rencontre la courbe.
17. Nous avons fait correspondre, avec Clebsch et Gordan , une courbe arbitraire de genre/? à une courbe normale de degré /> + 1 . On peut encore obtenir des courbes normales de degré moindre, comme l'ont indiqué MM. Brîll et Nother dans le Mémoire que nous avons déjà plusieurs fois cité (*). Sans entrer dans une discussion approfondie de cette question, qui ne me parait pas d'ailleurs avoir été jamais faite complètement, indiquons au moins les considérations qui peuvent conduire à ces courbes normales de degré inférieur à /> -f- i . Nous trouverons là l'occasion d'appliquer le théorème de Riemann-Roch et le théorème de réciprocité de MM. Brill et Nother.
Soient considérés jx points {x^^y^), . . (j^ji, jKji) sur une courbe algébrique y. Cherchons à déterminer ces points de manière qu'il leur corresponde un nombre o- différent de zéro {voir § 4), c'est-
(*) Brill et NOther, yfath. Annalen, t. VII. Voir le § 9 iotilulc : Dos Problem der Special-Gruppen, et les paragraphes suivants.
à-dire qu'on puisse faire passer par eux t courbes adjointes Q linéairement indépendantes. On aura les |x équations
fh Ql(iFA, rA)-i-«J Qt(^/n y h) -4-...^ ap (ip{Xh, y h) = O (/l = 1,2, .. , Jl).
Ces jx équations entre les a doivent se réduire kp — TclWre elles, et l'on aura, par suite, entre (xi, y\)- - -{^^j y^) "n nombre d'équations de condition égal à
(il — /?-i-ff)T.
Ces équations (E) devront être vérifiées pourque, parles ;jl points, ((ue je désigne par A, on puisse faire passer des adjointes Q dépendant de 0- paramètres arbitraires. Prenons une de ces adjointes ; elle rencontrera (en dehors des points multiples) /en ;jl' autres points que nous désignerons par B, et Ton a
Aux points B correspond un nombre o^, et nous avons établi les relations, revenant d'ailleurs à une seule,
;x' — p -H ff'-h I = J.
Parles points B, on peut faire passer des adjointes Q dépendant de a paramètres arbitraires. Ces adjointes rencontrent / en |JL points auxquels correspond le nombre primitifs. Ces jjl points satisfont donc aux équations ( E), et, parmi eux, il j en a cr' — i d'arbitraires; mais, d'autre part, le nombre des points satisfaisant aux équations (E) et restant arbitraires est au moins
11 faut donc que Ton ail Tinégalilé
De cette inégalité fondamentale nous déduisons, en nous servant des relations écrites plus haut,
Un cas particulièrement intéressant est celui où<t'=:z 3; on
aura alors par suite,
fl^2(7 -f- l),
d'où, en remplaçant o- par sa valeur en [jl et/?,
et enfin
(19) fi^?(^--3).
18. Nous arrivons maintenant à la recherche des courbes normales. Pour que l'on puisse avoir o^= 3, la plus petite valeur que ' puisse prendre jx est donnée par l'inégalité précédente. En suivant la marche du paragraphe précédent, on prendra alors des points B, en nombre jx', obtenus comme il a été dit, et par ces points passera un réseau d'adjointes
qui auront jx points de rencontre mobiles avec y*. En posant
on fera la transformation de f en une courbe F qui sera de degré [x. Nous nous contenterons de dire que cette transformalion sera birationnelle si la courbe / n'est pas spéciale; il en esl bien certainement ainsi, mais on n'a pas approfondi l'étude des cas exceptionnels qui pourraient se présenter.
I^ point intéressant est d* avoir la plus petite valeur possible pour [X. Reportons-nous, à cet effet, à l'inégalité (19). On peut
avoir
Dans les trois cas, le minimum de l'entier ix satisfaisant à l'inégalité (19) est
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Une courbe arbitraire de genre p correspond point par point
à une courbe de degré
en posant p = Sir, ou Sir-h i, ou 3t -f- 2.
19. Terminons celle Section sur la transformation birationnelle (les courbes par quelques remarques.
Etant donnée une courbe
et la substitution simplement rationnelle
Quand {x^y) décrit la courbe /, le point (X, Y) décrit une
courbe
On voit immédialement que le genre ^ de F est au plus égal au genre/? de/: en effet, à chaque intégrale de première espèce de F correspond une intégrale de première espèce de f^ et, par suite, le nombre des intégrales de première espèce distinctes de/ est au moins égal au nombre des intégrales de première espèce de F. On a donc bien
Examinons le cas où
On peut établir alors que la transjormation est nécessairement birationnelle (*).
Considérons, en effet, les intégrales de première espèce
fy
des courbes F et/. On aura
P,(X,Y)rfX Qy(x.y)dx , Qi(x,y)dx ^ q^{x.y)dx'
^Y fy Jy fy
(') Ce théorème a été démontré pour la première fois par M. Weber {Journal de Borchardty t. 76).
les a étant des coastantes, et, par suite, en supposant ^ > i, on
aura
Pi(X, Y) ^ qiQt(3^i>^)-^->-.-HqpQ/»(a^,r)
P,(X,Y) 6,Q,(x,^)-t-...-T-6pQp(ar,^)' les a et 6 étant des constantes. Aux points de F pour lesquels
Pi(X,Y) = o, correspondront des points pour lesquels
oi Qi(a7, j^) -+-. . .H- flp Q/,(ar, y) = o.
Si à un point arbitraire de F correspondent [x points de /, il faudra donc que
et, par suite, si/> = qr >► i, on aura nécessairement
c'est-à-dire que la transformation est birationnelle : c^est le théorème de M. Weber.
Dans le cas où ^ = i , les choses se passent d'une manière entièrement différente. On trouvera d'important» développements sur les transformations simplement rationnelles des courbes avec des applications à la théorie des équations différentielles dans le Mémoire de M. Painlevé sur les équations différentielles du premier ordre (*).
