V. — Des courbes de genre deux

20. Dans tout ce qui précède, on a supposé/?^ 3. Quelquesunes des considérations précédentes s'appliquent toutefois au ca» de/> = 2. Dans ce cas, la courbe est hyper elliptique. Le raisonnement fait au § 14 peut, en effet, être emplojé ici. On a un faisceau

Q,H-XQ, = o

d'adjointes d'ordre m — 3 avec le seul paramètre X. Les courbes de ce faisceau ne rencontrent y qu'en deux points variables; par

(•) P. Painleyé, Annales de l'École Normale supérieure^ 1891-92.

suilc, la courbe f correspond point par point à une certaine courbe liyperclliptique

et, d'après ce que nous avons dit (§ 14), le degré du polynôme PÇk), qui n'a que des racines simples, est cinq ou six.

On peut encore employer, pour faire la transformation, des adjointes d'ordre m — si, et la courbe de degré/? 4- 2 avec un poinl multiple d'ordre p devient ici une courbe du quatrième degré avec un point double. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Toute courbe de genre deux correspond point par point à une courbe du quatrième degré ayant un point double,

I.cs remarques qui précèdent épuisent la question de la représentation paramétrique des courbes de genre deux; mais il n'est pas sans intérêt de montrer d'une manière purement algébrique que le degré du polynôme P()v) dans l'équation (20) est au plus égal à six; c'est ce que nous allons faire en supposant, pour simplifier, que la courbe y n'ait que des points doubles. Changeons seulement un peu les notations; soit, pour éviter les indices,

le faisceau des adjointes d'ordre m — 3 de la courbe de genre deux

X et V sont des fonctions rationnelles de \ et y/P(X), en désignant par P(À) un polynôme qui est supposé n'avoir que des racines simples. C'est le degré de P(A) que Ton se propose d'é>'aluer. 1/équation du second degré donnant x sera de la forme

A, H, C étant des polynômes en ).. 1/équation en x aura des racines doubles pour les valeurs de a annulant

B«— VC = o.

Cos racines sont de deux sortes : ou bien elles correspondent aux

valeurs a de X pour lesquelles deux points de rencontre de la courbe correspondante avec y sont distinctes et sur une même parallèle à O^, ou bien elles correspondent aux valeurs ^ de )» pour lesquelles la courbe correspondante du faisceau est tangente à/.

Dans le premier cas, y aura deux valeurs distinctes, c'està-dire que j^, dans le voisinage de X = a, sera uniforme; x le sera donc également (puisque x peut s'exprimer rationnellement en j^ et X, si, comme on peut le supposer, la courbe et le faisceau n'occupent aucune position particulière par rapport aux axes). Par suite, X=a sera certainement une racine de degré pair de B^ — AC, et elle ne figure pas alors parmi les racines de P(X).

Le degré de P(X) est donc égal au nombre des courbes du faisceau

tangentes à/ : calculons ce nombre. Nous avons les équations

f(x,y) = o, Q - À II --. «>,

q; -^ A r; q; -t-xr;

et nous devons, par suite, chercher les points de rencontre des deux courbes

fix^y) = o, /;(Q,. R - RxP) -/;(Qr R - R; Q) = o.

Evaluons le nombre des points de rencontre de ces deux courbes en supprimant les solutions étrangères au problème. La seconde courbe est d'ordre

Il est facile de vérifier que les points doubles de y* sont des points doubles de la seconde courbe avec les mêmes tangentes. Pour le voir, mettons le point double à Torigine avec Ox et Oy comme tangentes^ on aura

4^8 OUF. XT. — DES r05CnO!IS rsiFOUUS SCft UiE SCEFACI DE RlUiint.

on a donc, poar la seconde courbe.

Fensemble des termes du second degré est donc xy.

Nous allons voir, de plus, que les m points à Tinfîni de /appartiennent à la courbe de degré 3m — 8. On a, en effet, comme terme de degré 3 m — 8,

en désignant par <f , q, r l'ensemble des termes homogènes du plus haut degré dans/, Q, R.

Si Ton remplace q et r par xq'j. -\-yqy et xr'j, -hyr^.^ on aura

donc '^{Xjy) sera bien en fadeur.

Les solutions que nous venons de trouver sont manifestemenl rlrangères au problème. En les laissant de côté, il reste pour le problème proposé un nombre de solutions égal à

(3;^^8)^f)P^'^^ ^^--i1— ;;,^ c'cst-à-dire six.

Le polynôme P()^) est donc du sixième degré.

THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS A L'EXISTENCE DES FONCTIONS SUR UNE SURFACE DE RIEMANN.