III. — Existence des fonctions harmoniques sur la surface

de Riemann fermée.

9. Le problème que nous venons de traiter dans la Section précédente n'est qu'un problème préliminaire. Nous avons maintenant à étudier le cas de la surface fermée, et nous chercherons d'abord à démoptrer l'existence d'une fonction harmonique bien déterminée et continue sur la surface de Riemann considérée avec les rétrosections C et D, et ayant des périodicités données q et dh correspondant aux ip coupures C/i et D>i (/r = i , 2, . . . , /?). Nous entendons toujours de la même manière le mr)l périodicité. Nous répétons que la fonction pourra être prolongée analytiquement au delà des C et D, et cela de telle manière qu'en désignant par «+ et u~ la valeur de la fonction à droite et à gauche dans le voisinage d'une coupure, soit Ca, on ait, comme prolongement analytique de z/"^,

et de même pour toutes les autres coupures. Dans ces conditions, la fonction m, qui reste toujours finie, aura sur la surface de Rie-

i'-jO CHAPITRE XVI.

inann, débarrassée des rélroseclions, une infinité de déterminations qui rentreront dans le type

u -f- V (m/, Ch -+- nh dh),

les niH et nn étant des entiers positifs ou négatifs^ et u désignan*^ une de ses déterminations.

10. Nous allons encore employer le procédé alterné, mais dans des conditions différentes de celles où nous l'avons employé jusqu'ici (*). Prenons sur un des feuillets deux cercles concentriques r et Y de rayon 11 et /•. Nous allons former une succession de fonctions harmoniques u et i'. Les fonctions v seront définies et bien déterminées sur la portion de la surface de Riemann, munie des rétroseclions C et D, extérieure à y, et elles admeltronl les périodicités données à ces rélrosections ; quant aux fonctions w," elles seront déterminées à l'intérieur du cercle F.

Ceci posé, donnons sur Y une succession de valeurs arbitraires. Nous formerons une fonction u^ prenant ces valeurs sur F; cette fonction prendra certaines valeurs sur y. On formera une fonction i'i prenant les mêmes valeurs que ii^ sur y (nous savons, traprcs la Section précédente, former une telle fonction). Nous considérerons ensuite la fonction Wa prenant sur F les mêmes \alcurs que r^ , cl Ton continuera ainsi indéfiniment. Nous avons donc deux suites de fonctions

"^ Y Mi , Wj, . . . , U,t^ . . . ,

Si Fon admet que //„ et i',i ont des limites u et r, il est clair que ces deux fonctions coïncident dans la couronne annulaire com- |)rise entre y et F, puisqu^on a

Un — «n-i (sur T\ it:, = v„ (sur Y^»

C') Los passages dos Mémoires de M. Schwarz, qui se rapportent à la question qui nous occupe actuellement, sont aux pages i68, 189 et 3o6 du tome II {Gesammcttc mathcmadsche Abhandlungen^ von H. -A. Schwarz).

d'oii résulte Tégalilé ii=: i^ sur F et sur y et, par suite, dans Taire limitée par ces deux courbes. Ainsi, la fonction i^ pourra se prolonger analytiquemcnt à Tintérieur du cercle y, et ce prolongement analytique n*aura aucune singularité à Tintérieur de ce cercle. Nous obtenons donc bien la fonction cherchée.

11. Nous avons à démontrer que Un et Vn ont des limites. La démonstration sera moins simple que dans les cas analogues rencontrés jusqu'ici, et nous devons d'abord faire plusieurs remarques. Montrons, en premier lieu, que les moyennes des valeurs de toutes les fonctions Un et Vn sur les circonférences y et F sont les mêmes. Il est d'abord bien clair que les valeurs moyennes de //i sur F et de i'i sur y sont les mêmes, puisque Ui = v^ sur y. Prenons alors une circonférence G de rayon p comprise entre F et y, et considérons la fonction ^i à l'extérieur de G; si nous traçons le contour K sur la surface de Riemann, nous aurons, par la formule de Green,

Jf -7-^ ds -h I -7-^ ds = o.

Or la première intégrale est nulle ; les éléments s'y détruisent, en effet, deux à deux, puisque les dérivées de v^ ont une périodicité nulle relativement aux rélrosections. Il reste donc

ce qui peut s'écrire, la ligne G étant un cercle,

''^ dv,

do = o.

dp • '

et, par suite, l'intégrale

est indépendante de p. Ceci veut bien dire que la valeur moyenne de la fonction Ti sur la circonférence y est égale à celle de Ma sur la circonférence F.

Or déjà la moyenne de ^i sur y est, comme nous l'avons dit,

égale à celle de Ut sur F; on a donc bien

et ainsi de suite. Tous les u ont même moyenne sur F et ont, par suite, même valeur au centre O de cette circonférence.

Considérons, en second lieu , deux fonctions harmoniques U el V continues dans F et prenant dans cette circonférence des valeurs ayant même moyenne. II en résulte évidemment que ces fonctions ont même valeur au centre; ceci va nous permettre de trouver une limite de | U^ — V^ | pour un point A quelconque du cercle y. Reportons-nous à Finégalité rappelée au § 5 de ce Chapitre. Appliquons-la à la fonction U — Vqui est nulle au centre. En appelant M le maximum de |U — V| sur la circonférence F. on aura

I Ua - Va |< — ^-^ ^^*

Or supposons -5 assez petit pour que l'on ait

4Rr

(/ étant un nombre fixe inférieur à l'unité. Dans ces conditions, Finégalité précédente pourra s'écrire

IUa-VaK^M,

inégalité fondamentale entre les maxima de | U — V | sur les circonférences F et y; elle suppose essentiellement que les valeurs moyennes de U et V sur F soient les mêmes.

12. Nous pouvons aborder maintenant la démonstration de l'existence de la limite pour //„ et r„. Grâce aux remarques précédentes, nous nous trouvons dans les mêmes conditions que précédemment. On a

U3— Ui =Vi — vt (surl^).

Or la fonction i'a — Vt est une fonction bien déterminée à Fextérieur de y, sans périodicité (la périodicité des r disparaissant dans la soustraction); le maximum de [ca — c^ | sur F est donc an

plus égal au maximum de | ç^2 — ^i ! sur y, mais

Vf — vi = Ui — Ui (sur y).

Le maximum de ] ^^2 — ^i | sur y est donc moindre que le produit par q du maximum de \u2 — U\\ sur T. En combinant ces résultats, nous avons

maximum de | Mj — Wj | < ^.maximum de | Mj — Ui \ (sur T ),

L'existence d'une limite vers laquelle converge uniformément m„ sur r est alors évidente, et Texistence des limites a et v est établie. Le problème posé au § 9 est donc complètement résolu,

La fonction trouvée prend au point O, centre de F. une valeur égale à la moyenne des valeurs initiales données au début sur F. La valeur de la fonction cherchée en O et les périodicités la déterminent d'ailleurs nécessairement d'une manière unique; car, dans le cas contraire, la différence de deux telles fonctions serait nulle en O et n'aurait pas de périodicité. Or nous savons qu'une fonction harmonique uniforme et continue sur la surface de Riemann tout entière se réduit nécessairement à une constante (Ghap. XIII, § 27).

Appelons yb/ic^/o/i harmonique de première espèce une fonction harmonique de la nature de celle que nous venons d'étudier, continue sur la surface de Riemann. Il existe a/? fonctions harmoniques de première espèce linéairement indépendantes. On peut, en effet, se donner arbitrairement les np périodes de ces fonctions, et il est clair qu'entre 2p fonctions à périodes arbitraires ne peut exister de relation linéaire à coefficients constants. Réciproquement, toute autre fonction harmonique de première espèce sera une combinaison linéaire de ces 2p fonctions; il suffit de choisir les coefficients de manière que la combinaison ait les mêmes périodes que la fonction proposée.

13. 11 est facile de traiter le cas où la fonction harmonique aurait une singularité de la nature suivante :

Proposons-nous de rechercher une fonction harmonique admettant des périodicités données et continue sur la surface, sauf au point O, dans le voisinage duquel elle sera de la forme (le point O

474 CBAPITIE XVI.

élanl |»ri> pour origine des coordonnées polaires r el 6),

cosQ ,.

U étant continue en O, et nécessairement harmonique (comme

Ou \a suivre la même marche que précédemment. La seule différence sera que les fonctions i/|, . . . , w^, au lieu d'être continues dans le cercle F, deviendront infinies en O comme • On

formera donc une première fonction W|, prenant des valeurs données sur r et continue dans F, sauf au point O où elle devient

infinie comme — ^ ; elle s'obtiendra tout de suite en posant

et en déterminant la fonction U| continue dans le cercle F tout

entier, et prenant sur sa circonférence les valeurs W| ^*

Nous formerons donc de la même manière nos deux suites

Toutes les inégalités fondamentales subsistent, et les valeurs mo\ -*nnes des fonctions sur " et sur F sont toutes égales à la vale I-. movenne de la fonction initiale Ui sur F, puisque la valeur

iiiovenne de — ^— est évidemment nulle.

\ous poiiK'ons donc former une fonction harmonique c/etrnant infinie en O comme

< au sens indiqué plus haut » et admettant des périodicités données. Cette fonction sera déterminée à une constante près variant avec la movenne des valeurs initiales sur la circonférence F. Nous la dirons une fonction harmonique de seconde espèce.