II. — Existence des fonctions harmoniques sur une surface

de Riemann ouverte.

6. Nous allons d'abord considérer une surface de Riemann ouverte : voici ce que nous entendons par là. On tracera sur un des feuillets une courbe fermée v (fu'on prendra généralement très petite. La surface de Riemann ouverte est la surface dont on a enlevé Taire limitée par y; on peut dire de la surface ouverte qu'elle a un bord y.

Nous traçons sur la surface de Riemann les rétrosections (C/i, D/i). Ces rétrosections limitent avec y une aire T. Nous allons d'abord nous proposer de trouver une fonction harmonique bien déterminée et continue sur T, et prenant sur y et les deux bords des rétrosections des valeurs données.

Il importe de prévenir tout de suite une première difficulté relative aux points de ramification. Désignons par :; la variable complexe sur la surface de Riemann, et soit a un point de ramification. En posant

nous transformons le voisinage du point de ramification a sur la surface de Riemann dans le voisinage du point z'= o sur le plan simple ^'[nous avons déjà fait, d'ailleurs (p. 383), cette transformation]. En posant

z ~ X -^ iy et z' =■ j;'-+- iy\ l'équation

se transforme en

P. - II. 3o

466 CHAPITRE XYI.

et nous sommes ramené alors à une aire située sur un plan simple (*).

Quant au point à Tinfini sur chacun des feuillets, on fera pour eux la transformation habituelle

et il n'y a de ce côté aucune difficulté.

Revenons au problème proposé. Nous pouvons considérer Taire T comme limitée par/? 4- i contours, à savoir y et les p réiroseclions (C, D). D'après le § 4, on sait résoudre le problème de Dirichlet pour une telle aire quand on peut le résoudre pour cette aire rendue simplement connexe par/> coupures; on prendra ici pour ces coupures des lignes, ne se coupant pas, joignant un point de chaque rétrosection à un point de y (celui-ci joue ici le rôle de contour extérieur C du § i, et tous les h sont nuls) (-). Or, pour l'aire simplement connexe que nous venons de définir, il n'y a aucune difficulté. On décomposera, comme dans la méthode de Schwarz pour la solution du problème ordinaire de Dirichlet (p. 289), Taire en un nombre limité d'aires partielles empiétant les unes sur les autres de manière à pouvoir appliquer le procédé alterné. Cette décomposition est indispensable, à cause des points de ramification; on s'arrangera de nianitT^* qu'un certain nombre des aires partielles contiennent chacune un point de ramification, et Ton pourra les supposer assez petites pour faire la transformation indiquée plus haut.

7. Abordons maintenant le problème fondamental. Nous voulons former une fonction harmonique bien déterminée et continue dans l'aire ï, prenant sur v des valeurs données et ad-

(•) II faut remarquer seulement que la fonction u continue, ainsi que ses dérivées dans le plan simple (x', v') autour de x' — jk'= o, n'aura pas ses déi*ivée> continues pour le point d'affixc a quand on reviendra à la surface de Riemann.

Les dérivées -— et -r- deviendront, en général, infinies de l'ordre de - ♦ en dé- Ox ôy ^ ^/j.

signant par r la distance de {x.v) au point d'affixe a.

(') C'est pour ce point du ruisonnement (ju'il est indispensable que la surfan*

soit ouverte.

mettant les périodicités Ch et dh relativement à C/i et D/i {A = 1 , 2, ...,/?). Nous entendons par là qu'après avoir marqué sur les rélrosections C et D un bord positif et un bord négatif (conformément, par exemple, aux conventions faites au § 12 du Chapitre XIV), le prolongement analytique de la fonction, considérée du côté négatif d'une coupure C>i, coïncidera avec la fonction, considérée du côté positif, à — c^ près, ce que nous exprimons, comme plus haut (§ â), par

et pareillement pour toutes les autres parties des rétrosections.

Donnons d'abord la solution, dans l'hjpothèse où /? = i. Suivant notre habitude, faisons dans l'espace le schéma de la surface de Riemann correspondante ; ce sera un tore, sur lequel nous traçons un parallèle C et un méridien D {Jig» 56), et nous désigne-

Fig. 56.

rons parc et d les périodes qui doivent leur correspondre; figurons aussi la courbe y rendant la surface ouverte.

Nous allons, en premier lieu, former une fonction harmonique prenant sur les deux bords de C des valeurs données, ainsi que sur y, et admettant la périodicité d par rapport à D. Pour éviter toute difficulté relative aux points (géométriquement confondus)/// et n des deux côtés de C, nous supposerons que les valeurs données sur les deux bords de C aient aussi d pour période (*). Pour résoudre ce premier problème, traçons une coupure auxiliaire D' et raisonnons absolument comme au § 4, en partant d'une fonction harmonique prenant sur les deux bords de C et sur y les valeurs données, et sur les deux bords de D des valeurs arbitraires

C) Voir la Note au § 2.

d'un côté et les mêmes valeurs augmentées de h de Tautre côté (D et D' remplacent les coupures mn et pq du paragraphe cité). La fonction u^ prend certaines valeurs sur D'"*"; nous formons alors une fonction v^ égale à w, sur D'"*" ainsi que sur les portions des deux bords de G comprises entre D'+ et D" et enfin sur y, tandis qu'elle est égale à u^ — rfsur D'", et sur les portions de Ccomprises entre D"*" et D'~. On formera de la sorte une suite indéfinie de fonctions u, ^, et la limite des fonctions u résout le problème posé; il me paraît inutile d'insister, l'analogie étant complète avec le cas traité au § 4.

Ce premier problème résolu, nous considérons maintenanl, outre Ci et D, un second parallèle C {fi g' S^). Ce sont mainle-

Fig. 57.

nant C cl C qui vont jouer le rôle de mn et de pq^ et toutes les fonctions harmoniques que l'on va considérer auront la périodicité cl par rapport à D et prendront les valeurs données sur y- On partira d'une fonction it^ prenant des valeurs arbitraires sur G' (sauf la périodicité d correspondant au passage par D) et les mêmes valeurs augmentées de c sur C"^; cette fonction prendra sur C'"^ certaines valeurs. On formera la fonction (^1, prenant ces valeurs sur C'"^ et les mêmes valeurs diminuées de c sur C", cl Ton continuera ainsi indéfiniment, dirigeant toujours opérations et raisonnements comme au § 4. La limite des u sera la fonction cherchée; elle prendra sur y les valeurs données, sera continue sur toute la surface de Riemanny et admettra les périodicités données c et d relativement à C et à D.

8. Après avoir traité le cas de /? = i , il n'y a aucune difficulté à traiter le cas général. La marche est la même que pour

TnÊORÈMES GÉNÉRAUX SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 4^9

passer d'une aire limitée par deux contours à une aire limitée par p -f- 1 contours. Soient, par exemple, /? = 2 et les deux rétrosectious (C|,D|), (C2,D2) et le contour y. En nous donnant des valeurs sur les deux bords de C^ et D, ainsi que sur y, nous pouvons d'abord, d'après ce qui précède, déterminer une fonction harmonique prenant sur C| et D| ainsi que sur y les valeurs données, et ayant les périodicités C2 et rfo relativement à C2 et D,. N'employant alors comme fonctions approchées u et v que des fonctions ayant cette périodicité, nous obtiendrons, par un nouvel emploi du procédé alterné, relativement à C| et D,, la fonction cherchée.

Le raisonnement est général, et nous avons ainsi complètement résolu le problème proposé pour une surface ouverte. Nous avons formé une fonction harmonique continue sur la surface de Riemann limitée par y et les p rétrosections (C, D); celle fonction prend sur y des valeurs données el admet des périodicités données relativement aux C e^ D.