Considérons maintenant deux fonctions complexes

u -r- iv et Ml -f- ivx

sur la surface, fonctions uniformes et n'ayant que des pôles. Si l'on donne à w -f- «V une valeur arbitraire, il y aura un certain nombre m de points de la surface correspondant à cette valeur de u 4- iV, et si la seconde fonction U\ 4- iv\ a été prise arbitrairement, elle aura m valeurs distinctes. Or nous savons (p. 8) que, si

l'on pose

F = M -+- *V, Fi = M, -:- iVi,

Fi est une fonction analytique ordinaire de F. Quelle sera la nature de cette fonction ? A une valeur de F correspond un nombre fini de valeurs de Fi ; d'autre part, F| est une fonction de F qui ne peut avoir d'autres points singuliers que des pôles et des points critiques algébriques. Il y a donc entre F et F| une relation algébrique

/(F, Fj) = o,

et à un point arbitraire de la surface correspond un seulpoint (F, F|) de cette courbe.

Nous avons donc établi ce théorème fondamental (*) :

A la surface S donnée dans Uespace et ayant p trous correspond uniformément une courbe algébrique de genre p.

(^) Ce théorème a été énoncé par M. Klein dans son Ouvrage déjà bien des fois cité sur la Théorie des sur/aces de Riemann. Le mode de démonstration de M. Klein est extrêmement intéressant, quoiiju'il ne prétende pas à être rigoureux au point de vue analytique. C'est à une expérience électrique fictive faite sur la surface que l'illustre auteur emprunte les éléments de ses démonstrations. L'existence des fonctions potentielles avec leurs singularités diverses se trouve ainsi démontrée en quelque sorte expérimentalement. On vient de voir que les considérations employées pour les surfaces de Riemann et l'équation de Laplacc s'étendent sans peine à l'équutiun de Beltrami et à une surface quelconque. Relativement ù celle-ci, nous avons seulement fait l'hypothèse qu'elle était régulièrement analytique; on pourrait traiter, je crois, de la même manière, des cas moins simples, ceux notamment où la surface a des arêtes, mais je ne veux pas ici approfondir cette question.

494 CHAPITRE XTf.

Nous disons que le genre de la courbe/ est égal au nombre/) des trous de la surface S; ce qui résulte immédiatement de ce qu'il y a /? fonctions complexes de première espèce sur la surface linéairement indépendantes (§ 26).

29. Nous avons encore à faire une remarque importante. Envisageons la surface S de Riemann à m feuillets représentative de la fonction algébrique F| de F. Nous avons dit que S et 2 se correspondaient point par point; mais, de plus, la relation

dii^ — dv^ = l(E dp^ -^ iF dp dq -^ G dq^ )

montre que cette correspondance a lieu avec conservation des angles. On peut donc dire que Ton a une carie géographique de la surface S sur la surface de Riemann S.

30. Appliquons au tore Tes généralités qui précèdent. Désignons par r le rayon du cercle générateur et par R la distance de son centre à Taxe (r<C R)- On pourra représenter le tore par les

équations

j" = ( R — r cos o ) cos ^,

1* = (R — r cos3> sin6.

z — rsino.

où la signification géométrique des angles o et i, qui varient de o à 27:, se voit immédiatement. On aura donc pour l'élément d'arc de la surface

d$^ = dx*- - </> 2 - dz*' - rî d^^ - ^ R — / coso r- </••.« que Ton peut écrire

ou, enfin, en posant,

ds*' = V R r cos 9 »* [</Xi — d\^ ] .

Celte dernière formule nous donne tout de suite la carte géographique, avec conservation des angles, de la surface du tore sur la

surface d^un rectangle. Eq effet, quand '^ et ^ varient de o à 27r, le point (X, Y) décrit dans son plan Taire d'un rectangle dont les quatre côtés sont

Y = 0, \rrrir.,

A = O, \rr / —

./ft K — rcos^

Que sont ici les fonctions complexes w 4- iV uniformes sur le tore? Ce sont nécessairement des fonctions analytiques deX-f-iY; elles admettront les périodes

'>.r,i et / , '-

cuso

Les fonctions doublement périodiques ayant ces deux périodes définissent une classe de courbes algébriques (*) : c'est la classe correspondant au tore,

• 31. Indiquons un exemple d'une surface ayant p trous, auquel on puisse appliquer les considérations générales que nous venons de développer. Je considère, comme au Chapitre XIII, un disque plan à p trous, limité par une courbe extérieure C et/? courbes intérieures C|, ..., Ctpj et tracé dans le plan {x^y).

Toutes ces lignes sont supposées régulièrement analytiques. On peut concevoir une fonction analytique /"(x,^) des deux variables réelles x et y s'annulant, en changeant de signe, quand {x^y) traverse les courbes C, C|, . .., C;,, et étant positive et différente de zéro dans l'aire A limitée par ces courbes. Si, par exemple, les courbes sont des cercles, f{x, y) sera le produit pris avec un signe convenable des premiers membres des équations de ces cercles. J'envisage maintenant la surface

Cette surface sera symétrique par rapport au plan des {x^y)^ elle passera par les courbes considérées et aura visiblement p trous. Elle sera régulièrement analytique. On le voit de suite

(^) Ce point a été démontré à la fin de la Section précédente. Noos le retrouverons d'une manière plus élémentaire au Chapitre suivant.

pour tout point {x, y) de l'intérieur de l'aire A; la chose est moins immédiate pour un point d'une courbe limite. Pour le voir, (xq, yo) étant un tel point, posons

3t étant une quantité très petite. Pour x = Xoj a = o, nous avons une racine simple y =^yo- Nous pouvons donc développer^ suivant les puissances de x et a, dans le voisinage de x = Xq et a= o; soit ^{x, a) ce développement. On aura alors la surface définie par les équations

ce qui montre que la surface est analytique dans le voisinage du point (^0,^0» O)- On a supposé seulement qu'en (^oj^o) la tangente à la courbe limite n'est pas parallèle à Oy^ mais^ s'il en était ainsi, on intervertirait j: et^ dans les raisonnements. Nous avons donc bien un exemple d*une surface à p trous régulièrement analytique dans toute son étendue. Â cette surface correspond, d'après le théorème général, une classe de courbes algébriques.

32. Un cas limite de la surface précédente est extrémemenl intéressant. Je considère la surface

où £ est une constante positive. Supposons que e lende vers zéro; nous aurons une surface se rapprochant de plus en plus des deux côtés du disque plan. La classe de courbes algébriques correspondant à notre surface deviendra pour £ =: o une certaine classe limite, et Ton est ainsi conduit au théorème suivant :

A tout disque plan à p trous on peut faire correspondre une classe de courbes algébriques.

Il y a une correspondance uniforme entre les points d'une courbe algébrique de cette classe et les points du disque considéré comme ayant deux faces. Le remarquable théorème qui pré-

TnÉORÈVES GÉNÉRAUX SUR UNE SURFACE DE RIEMAN.N. 497

cède est dû à M. Schotlkj ('), qûî y est arrivé par une tout autre voie, en rai tachant la question au principe classique de Diriclilet.

Le résultat précédent est très important pour Tétude de la représentation conforme des aires limitées par plusieurs contours. J'Jant donnés deux disques plans ayant le même nombre p de Irons, peut-on faire une représentation conforme de ces deux disques V un sur r autre, de manière qu\i un point du premier disque ne corresponde qu un point du second et inversement? La question était difficile, mais nous sommes maintenant <'n mesure d'y répondre en quelques lignes. Nous pouvons faire la carte géographique de chaque disque (pris avec ses deux hords) sur une surface de Kiemann convenable^ cette surface de Riemann est relative à une courbe quelconque' de la classe correspondant au disque. Si l'on peut faire, de la manière indiquée, la représentation conforme des deux disques l'un sur l'autre, les <leu\ surfaces de Riemann cl, par suite, les deux courbes se correspondront point j)ar point. On voit donc que la représentation conforme des deux disquesestengénéralimpossible; les conditions rexiennent à l'identité des deux classes de courbes algébriques correspondant à Vun et Vautre disque. Je me borne sur ce point à ces vues, peut-être un peu rapides, en renvoyant au Mémoire de M. Schottky pour l'étude de la représentation conforme des aires multiplement connexes.

(') Nous avons déjà eu roccasion de citer (p. q85) le beau travail de M. Schottky; c'est un Mémoire fondamental à plus d'un titre.

498 CHAPITRE XVIf.