I. — Des courbes unicursales

1. Nous terminerons ce Volume^ par une élude des propriétés essentielles des courbes de genre zéro et des courbes de genre un. Commençons par les courbes correspondant à /> = o, qu'on appelle courbes unicursales (*).

D'après la formule générale (p. 3^4)

on aura pour les courbes unicursales

Vi(i — i) (m — i)(m — 1) a/ = .

Telle est la condition nécessaire et suffisante pour que le genre soit nul. Il n'y aura pas dans ce cas de courbe adjointe d'ordre m — 3.

Les courbes unicursales jouissent d'une remarquable propriété:

on peut exprimer les coordonnées (x, y) d'un quelconque de leurs points en/onctions rationnelles d'un paramètre.

Pour le démontrer, considérons une adjointe d'ordre m — 2; elle dépend d'une manière non homogène de m — 2 constantes {-). Nous pouvons donc former un réseau

( * ) I^cs mois de courbes unicursales ont été employés pour la première fois par M. Caylcy {voir Cayley, Comptes rendus, t. LXII).

(*) On a vu dans un Chapitre antérieur que le nombre de ces constantes est, pour/; quelconque, m — 2 -r- p. La numération est d'ailleurs immédiate.

COURBES DBS GBNBES ZÉRO ET UN. 499

d'adjoiDtes d'ordre m — 2 passant, quel que soit X, par m — 3 points choisis arbitrairement sur la courbe. Combien y aura-t-il de points de rencontre variables avec X? On a déjà un nombre de points de rencontre fixes représenté par

\ «/£*(« — \)-\-m — 3 ou ni{^m — 2) — i.

Il reste donc un seul point de rencontre mobile, et. par suite, ses coordonnées j: et^ sont des fonctions rationnelles de X.

Considérons inversement une courbe définie par deux équations

(I) a: = R()0, J'=Ri(X),

R et Ri étant des fonctions rationnelles d'un paramètre X. Cette courbe sera de genre zéro.

Si le genre n'était pas nul, la courbe aurait une intégrale de première espèce

Qix. y) dx.

Or, en remplaçant j: et ^ par les expressions (i), on aurait une intégrale portant sur une fraction rationnelle P(X)

qui devrait rester finie pour toute valeur, finie ou infinie, de X, ce qui est impossible.

2. Nous avons exprimé plus haut les coordonnées x ^\.y d'un point arbitraire de la courbe en fonctions rationnelles d'un paramètre. Poui^ trouver ces expressions, il a fallu introduire en général certaines irrationnelles par rapport aux coefficients de la courbe, puisqu'on doit prendre m — 3 points sur la courbe. On peut se demander comment on pourrait faire la représentation paramétrique pour une courbe unicursale, en introduisant le moins possible à! irrationalités par rapport aux coefficients de l'équation de la courbe unicursale. Pour répondre à cette question, M. Nother procède très élégamment de la manière suivante (*).

( * ) NOther, Math. Annalen^ t. III.

aOO CHAPITRE XVII.

Prenons trois adjointes arbitraires d'ordre m — 2, ce qui peul se faire sans introduire aucune irrationalité par rapport aui coefficients; soient P,(:r,j'), ^^{x^y)^ ^^{x^y) les trois poljnômes adjoints correspondants. Je pose

A la courbe unicursale proposée

va correspondre une courbe

et, si les trois polynômes adjoints d'ordre m — 2 sont arbitraires, les deux courbes se correspondront point par point. Cherchons le degré de la courbe F; il est égal au nombre des points de rencontre, avec y, du réseau

en dehors des points multiples, c'est-à-dire à

m{m — 1) — y aii{i^i) ou m — >.,

Nous avons donc transforme la courbe en une courbe d'ordre m — 2. On peut continuer ainsi de proche en proche. Si m est impair, on arrivera à une cubique ; si m est pair, à une conique.

Dans le premier cas (m impair), les coordonnées de la cubique unicursale, qui a un seul point double, peuvent être exprimées en fonctions rationnelles d'un paramètre, sans introduction d'aucune irrationalité par rapport aux coefficients de son équation, qui sont eux mêmes des fonctions rationnelles des coefficients de la courbe proposée. Donc, pour une courbe unicursale d'ordre impair, on peut n'introduire aucune irrationalité par rapport aux coefficients dans la représentation paramétrique.

Il n'en va pas de même pour m pair. Nous sommes ramené dans ce cas à une conique, et, en général, nous ne pouvons pas faire la recherche des expressions des coordonnées en fonctions rationnelles d'un paramètre, sans introduire une irrationalité qui

COURBES DES GENRES ZÉRO ET UN. 5oi

sera une racine carrée (V une fonction rationnelle des coefficients. Il en sera donc de même pour la courbe unicursale proposée.

3. Dans la représentation paramétrique donnée au § 1, nous avons pour une courbe unicursale

ar--^R(X), 7 = R,(X),

et, d*aprés la manière même dont nous avons procédé, on a pour A

P une fonction rationnelle — p^ dej;et^. A un poini arbitraire de

la courbe ne correspond donc qu'une seule valeur de X. Il y a des points particuliers pour lesquels il en est autrement : ce sont les points multiples. En un point multiple d'ordre /, les deux polynômes adjoints P| et P2 sont nuls, et il y a / valeurs pour X correspondant aux / branches de la courbe au point multiple.

Imaginons qu'on ait une seconde représentation paramétrique

de telle sorte aussi que 6 soit fonction rationnelle de x et y. La nature de la dépendance entre X et 6 s'aperçoit immédiatement; à une valeur arbitraire de X ne correspondra qu'une valeur de 0 et inversement. La relation est d-ailleurs algébrique. Donc X est une fonction rationnelle de 6, et 0 est une fonction rationnelle de X ; on doit, par suite, avoir

a, 6, c, d étant des constantes. On peut donc dire que, abstraction faite d'une substitution linéaire sur le paramètre, il n'y a qu'une seule représentation paramétrique, de la nature indiquée, pour une courbe unicursale (^).

Je n'insisterai pas davantage sur les courbes unicursales. Une

(0 On pourrait avoir une représentation paramétrique rationnelle telle qu'à un point arbitraire {XjX) ^c la courbe correspondissent plusieurs valeurs de \. On verra (LiJiioTH, Math. Annalen, 1. 1\) comment on peut, par un calcul régulier, introduire un autre paramètre, de façon à avoir une nouvelle représentation qui soit du type étudié plus haut.

étude très complète en a été faite par Clebsch dans nn Mémoire auquel nous renverrons (* ).