III. — Généralités sur les fonctions doublement périodiques

10. Nous avons déjà parlé des fonctions doublement périodiques (Chap. Xil). Les généralités sur ces fonctions, œuvre de Liouville et surtout de M. Hermite, sont devenues si classiques, et ont été tant de fois exposées {^) que nous ne croyons pas devoir reprendre ce qui a été déjà si bien dit. Supposant donc connus les théorèmes fondamentaux, je vais seulement faire (juelques remarques qui auront trait aux courbes de genre zéro ou un.

Considérons deux fonctions doublement périodiques aux mêmes périodes

Tout d'abord il existe entre elles une relation algébrique, comme l'ont remarqué simultanément Briot et Bouquet et M. Méray. La démonstration de ce résultat est immédiate. A une valeur arbitraire de x correspond, dans chaque parallélogramme de périodes, un nombre limité (toujours le même) de valeurs de :;. La fonction y de x n'a donc qu'un nombre limité de valeurs pour chaque valeur dex; elle n'a d'autre part évidemment que des pôles ou des points critiques algébriques. On en conclut que j* est une fonction algébrique de x. Nous aurons donc

( ' ) Voir le Chapitre VI de mon Mémoire cité plus haut. J'y étudie incidemment d'une manière très sommaire les expressions (4) dont M. Appell faisait à la même époque une étude très approfondie dans son grand Mémoire Sur les intégrales des fonctions à multiplicateurs {Acta mathematica, t. XIII).

(*) Consulter, en particulier, le Cours lithographie de M. Hermite, le Traite sur les fonctions elliptiques de Briot et Bouquet et le Traité d'Analyse de M. Camille Jordan.

COURBES DKS GENRES ZÉRO ET UN. 5o9

Ceci pose, montrons que le genre de la courbe f est au plus *''gal à C unité. Si la courbe était de genre supérieur à un, on aurait deux intégrales distinctes de première espèce

Q, iT.r) flr r 0,(.T, y)(f.r

La première de ces intégrales peut s'écrire

-r- (iZ.

En substituant à :ir et ^ les expressions (5), le multiplicateur (le dz^ sous le signe d'intégration,

Q,(j^, v^ dx

est une fonction doublement périodique de z. Il faut que cette fonction se réduise à une constante; sinon elle aurait des pôles, et rintégralc deviendrait infinie. On aura donc

0,r.r, vO dx

et, de même,

Qî(j- r) dx

fy d^ (ix et «2 étant des constantes. Des deux identités précédentes, on conclut

égalité impossible, puisque les deux intégrales de première espèce ont été supposées linéairement indépendantes. Le théorème est donc établi (*).

11. 11 peut arriver que le genre de la courbe soit égal à zéro ou à un. Faisons la remarque importante que, si à un point r/rftitrairc {x^ y) de /ne correspond (\\x'une seule valeur de :; dans un parallélogramme de périodes, le genre de la courbe sera certainement égal à l' unité. En effet, dans le cas contraire, la courbe serait unicursale, et Ton aurait

(') J'ai donné pour la première fois la démonstration précédente avec un tliéurèiue analogue pour les surfaces algébriques au t. \CII des Compt. rend.j p. 1^9).

R et Kl étant rationnelles en 0, et 0 pouvant se mettre soas la forme d'une fonction rationnelle de x et y. On aurait donc

F(5) étant une fonction doublement périodique de z, A un point arbiU^aire {x^ y) correspond une seule valeur de 6; les valeurs de z correspondant a un point arbitraire {x^y) seraient donc les racines de Téquation (6). Mais, pour une valeur arbitraire donnée à 0, correspondent au moins deux racines de (6) dans un parallélogramme. L'hypothèse faite que la courbe est unicursale est donc inadmissible.

12. Plaçons-nous dans le cas où à un point arbitraire {x^y) ne correspondrait qu'une seule valeur de 5, abstraction faite de sommes des multiples de périodes, et considérons une fonction doublement périodique quelconque W de 5, aux mêmes périodes que i et 4>. A chaque point {x^y) de la surface de Riemann relative à la courbe / ne correspondra qu'une seule valeur de ^'. Cette fonction sera donc une fonction uniforme sur la surface de Riemann; elle n'a nécessairement que des pôles; elle est donc une fonction rationnelle de x ely (p. 385). Toute fonction doublement périodique de z sera donc une fonction rationnelle de ^{z) et ^{z). Ce théorème est dû à Liouville.

13. Nous avons vu (p. 44^) ^"6 les courbes de genre un admettent une transformation birationnelle en elle-même dépendant d'un paramètre arbitraire. 11 est facile de retrouver d'une autre manière ce résultat. Considérons les équations

x--^iz\ y r 0(5),

h étant une constante arbitraire; X et Y sont des fonctions doublement périodiques de z. On aura donc, d'après le paragraphe précédent,

R et Ri étant rationnelles en x et jk, et évidemment d^ailleurs, pour la même raison, x el y sont des fonctions rationnelles de

COURBES DES GENBKS ZÉRO ET UN. 5ll

\ Cl Y. Nous voyons donc bien que la courbe f admettra une transformation birationnelle en elle-même dépendant du paramètre arbitraire A. 11 n'est pas inutile de rappeler ici le résultai obtenu (p. 41^) relatif à Téquation différentielle

Of.r. >-W/.r 0(\. Y)^X

Q('^'J^) ^^31"^ 'c polynôme adjoint figurant dans l'intégrale de première espèce relative à/. L'intégrale générale de cette équation, qu'on peut appeler Téquation d'Kuler, est algébrique et est précisément fournie par les équations (7) avec la constante arbitraire h,

11. Terminons par l'examen du cas particulier où l'on aurait ^V étant la dérivée de ^>. Kcrivons la relation

(Quelle que soit la fonction doublement périodique ^(^z)^ on peut affirmer que le genre de f sera égal à V unité. Il faut montrer ([u'à un point arbitraire (j^, J') ne correspondra qu'une valeur de z dans un parallélogramme. Dans le cas contraire, nous pourrions prendre un couple de points Cq, Zx dans un même paralléloj;ramme correspondant à un même point simple de la courbe. En ^0 et v|, la fonction <[> et sa dérivée ^' auraient respectivement les mêmes valeurs; d'après l'équation différentielle, il en serait de même de toutes les dérivées de 4>. Donc le développement de <ï>(3) dans le voisinage de Zq suivant les puissances de z — Zq et le développement de ^{z) dans le voisinage de Zs suivant les [)uissances de z — C| auraient les mêmes coefficients. 11 en résulte que Zq — Zx serait une période de 4>, ce qui est absurde. Nous reprendrons bientôt l'étude des équations de la forme

fU i^

dz) - "

(|ui ont fait l'objet d'un travail mémorable de Briot et Bouquet. Pour le moment, nous nous contenterons d'indiquer la forme de

'n*. cjiArirne xvii. — courbes des liENREs zéro et r>.

rvilr rrlatioii. «<i Ton ;i

M*' r I rhiiit iiiK* loïKrlioii rloiililciiiciit pi'rio(Iii|iit* ii\<irit ili*ii\ pi'ilt* ^iiii|ilr> «liiiis lin |>ar:illrli)^i'iiriirii(' (If |irrinc|f'H. I );iii^ co ci^. I • -ju;»-

limi -rr:i iln >-(M'(iiii| ilrtjr' m , • iiiii^fiiri'i mn* \.il«'ijr •!•■ / < '»r-

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