COURBES DES GENRES ZARO ET UN

{x^y) de la courbe ne correspond manifestement, d'après la relation (3), qu'une seule valeur de ^, abstraction faite de sommes des multiples des périodes (*).

8. Je réserve, pour une autre partie de cet Ouvrage, l'inversion effective de l'intégrale de première espèce pour laquelle il est nécessaire d'introduire les transcendantes de Jacobi. Nous avons montré, au § 12 du Chapitre XII, comment, dans le cas de l'intégrale elliptique, on peut former certaines fonctions entières jouissant, par rapport aux périodes, d'une propriété remarquable. On peut ici former une combinaison analogue que je me contenterai d'indiquer (2) ; il est facile de former une fonction

de degré m — 1 en ;r et j*, et lellc que la combinaison

soit une fonction entière de z. Cette fonction entière joue ici le même rôle que la fonction Al (5) de M. Weierstrass.

9. Nous aurons encore à signaler plus tard certaines propriétés des courbes de genres zéro et un. Ainsi l'on peut faire, avec M. Hermite ('), la remarque que les courbes de genre zéro el un sont les seules pour lesquelles l'inversion de l'intégrale abélienne

/ >.(x, y)dx = z

(X étant rationnelle en x ci y) donne, pour x et j', des fonctions uniformes de z. Ce sont des questions qui trouveront leur place dans l'étude des équations différentielles de Briot etBoliquet. J'ai même

(*) Si l'on veut reprendre le point de vue auquel nous nous sommes placé, avec Hiemann, au § 23 du Chapitre \VI, on dira que l'inversion de l'intégrale de ppemièrc espèce permet, pour/? = i, de faire d'une manière uniforme la représentation conforme de la surface de Riemann sur la surface d'un parallélogramme.

(') Voir le § 10 du Chapitre III de mon Mémoire Sur les fonctions algébriques de deux variables.

(') Hermite, Cours lithographie de l'École Polytechnique, 1873.

5o8 CHAPITRE XYII.

montré (*), d'une manière plus générale, que les courbes des genres zéro et un sont les seules pour lesquelles l'inversion d'une expression

( i ) j eJ ' dj--z

(X étant rationnelle en x cl j') donne pour x et y des fonctions uniformes de z,