CM

Ç et i' étant compris entre x — e et x. Or chacune des intégrales figurant dans la parenthèse a, quel que soit 2, une valeur finie : ainsi la première est la partie réelle de

expression finie, quel que soit z, sa partie réelle n^étant pas supposée négative.

La quantité s étant aussi petite que Ton veut, il en résulte que le second membre de (i 5) a zéro pour limite quand z augmente indéfiniment, et le premier a /(x) pour limite, si toutefois z ne s^éloigne pas à l'infini dans la direction de Taxe des y. Dans ce dernier cas, on ne peut pas affirmer que l'expression

;; 1 e--^'-pf{\L)d\k

a f{x) pour limite, mais seulement qu'elle reste finie, comme on le voit par un calcul analogue où l'on applique le théorème de la moyenne.

En résumé, la fonction F(x) du paragraphe précédent se réduit

APPLICATIONS DES THfiORfelES DB CAUCHY. l-jS

ICI a

Les directions singulières appelées plus haut ç/q, pour lesquelles

il n'y a pas la limite F, sont ici ^ et + -' mais nous sommes dans

les conditions où la formule (12) n'en sera pas moins applicable, comme il résulte de la remarque faite à la fîn du § 9. Nous avons donc la formule

la sommation dans le second membre étant étendue aux racines X de l'équation iî(X) = o.

Si la fonction /(x) n'était pas continue pour la valeur considérée de x^ mais éprouvait, en passant par cette valeur, un saut brusque fini, il y aurait simplement à remplacer dans la conclusion précédente — ^ ^/(•^) P^^

/{^x — Tj) désignant la limite des valeurs (jue prend la fonction quand la variable tend vers j:^ en lui étant inférieure; cVst (railleurs la notation dont nous nous sommes servi jadis dans la théorie des séries trigonométriques.

11. La formule précédente ne conduit pas à un développeineni simple, les termes étant des fonctions compliquées de x, Nouh allons établir une seconde formule, qui, jointe à la précédante, nous donnera un développement remarquable.

Dans la formule du paragraphe (10;, poson»

et soit

tJ Z)

Nous supposons que ^~ leiid, •:%% j^éri 'r;il, vm une limite 'i,

z augmentant toujours indéfiniment dans les mêmes condltio De plus, nous admettons que

qZ'Xx'-x)

tend, en général, vers zéro. Ces deux hypothèses sont parallèles celles que nous avons faites au paragraphe (10). On établira ci core, par des raisonnements entièrement analogues à ceux quioi été employés plus haut, que

reste fini et que

tend vers/(x), et l'on arrive alors à la formule

qui présente la plus grande analogie avec la formule (a).

Dans le cas où x serait un point de discontinuité, on aurait

remplacer - J(x) par

12. Des formules (a) et (,3) nous allons déduire un nouvea développement. Supposons que

on aura nécessairement alors

lim ''] ; = I ;