TC
— Ç £(re9*)e^'do-h — f £(re9^)e9*do = I,H,
ou, enfin, en changeant dans la seconde intégrale cp en ^ +^^9
TC
Ceci posé, attribuons à /' une suite de valeurs ri, r^, ..., r„j ..., augmentant indéfiniment, et supposons que, n augmentant indéfiniment, le produit
tende uniformément vers une limite F indépendante de ^ , quand
cet argument est compris entre — - et - > c'est-à-dire quand :;
augmente indéfiniment, sa partie réelle n'étant pas négative. On en conclut
le second membre étant une sommation indéfinie étendue aux résidus de tous les pôles de la fonction -^(z).
On pourra, en particulier, appliquer la formule (la), si le produit zS(z) tend uniformément vers une limite fixe F indépendante de (f (variant de o à 27:), auquel cas l'expression (1 1) aura précisément cette valeur F comme limite. On peut aussi supposer que les produits zS{z) et ( — z)S( — z) tendent séparément et
uniformément vers deux limites différentes quand z augmente indéfiniment, sa partie réelle n^étant pas négative.
Enfin la formule précédente (12) subsistera si Ton fait l'hypothèse que, pour un nombre limité de directions ©0 ^^ 'f > l'expression (11) n'a pas F pour limite, pourvu que cette expression reste finie dans le voisinage de ^o« On pourra en effet isoler un certain nombre d'intervalles angulaires («po — ê)?o4-ê), s étant aussi petit que l'on voudra : la part de ces intervalles, dans l'intégration (10), tendant vers zéro avec e, la formule (12) subsistera.
10. Appliquons les considérations générales qui précèdent au cas où
X étant un paramètre qui va être supposé réel; les fonctions ^{/, 7:, y sont des fonctions holomorphes de z.
S'il existe ici une limite F, cette limite dépendra généralement de x\ nous la désignerons par F (a:), et la formule (12) deviendra
la sommation dans le second membre étant étendue aux racines A de l'équation
C'est de la formule (i3) que Cauchy a déduit divers développements intéressants, en particulier le développement de Fourier. Nous allons approfondir les conditions dans lesquelles ces développements sont légitimes, en particularisant la fonction /(:;, or).
Nous prenons poury(5, x^ la fonction
y({jL) désigne une fonction de [x satisfaisant alix conditions que nous avons appelées conditions de Dirichlet dans l'étude de la série de Fourier (t. I, p. aoi).
170 CHAPITRE Yl.
Nous devons d*abord éludier rexpression (11) qui devient ici
Il fautchercher lalimile de cette expression, quand :; augmente indéfiniment de telle manière que sa partie réelle ne soit pas négatiie et que son module reste dans la suite Ti, Tj, ..., r«. ....
Supposons que ^ ""^ tende, dans ces conditions^ vers une limite c, à Fexception peut-être seulement de certaines directions 9o en nombre limité, pour lesquelles d^ailleurs le quotient précédent aura un module inférieur à une quantité déterminée; ce que nous
exprimerons en disant que — — -■ a, en général, c pour limite. Oo suppose pareillement que
tend en général vers zéro.
Remarquons d'abord que le produit
reste fini. Il suffit évidemment de le montrer pour Tintégraie
dans laquelle on suppose e assez petit pour que/(pL) varie dans le même sens, par exemple en décroissant, de x^ à ;ro-4-e. Or, en posant
nous avons à étudier les intégrales
P/(|x)e/lx et / Q/(fx)rffx.
Bornons-nous à la première ; elle peut s'écrire, d'après le second
ihéorème de la moyenne (t. I, p. 201 )
Pdii (o<r, <£).
Or rintégrale figurant dans ce produit est la partie réelle de
/wr.-*-T)
^ e-~^t^-*o' dix = 1 — e~^A ;
elle reste donc finie.
Ces diverses hypothèses faites, nous pouvons trouver la limite de l'expression (i4)- Le premier terme de cette expression peut
s'écrire
il tendra donc vers zéro. Le second tend vers
cïimz j e-^^^-p /(il) diL,
en supposant que cette dernière limite existe. Nous allons voir qu'il en est ainsi et qu'elle se réduit précisément kf{x). 11 est évident d'abord que
e -z(x-fi)/( ^)d\L — o ( 6 > o),
quand z s'éloigne indéfiniment dans une autre direction que Taxe des y. Nous pouvons donc nous borner à étudier l'intégrale
or elle peut s'écrire
(15) /(x) j e-^^'-V^ z d^i -h 1 €'^''-\»-^[ f(ii) — fix)]z dyi
le premier terme se réduit à
Dans le second, en supposant e assez petit, la différence
variera dans le même sens, puisque la fonction n*a pas un nombre
infini de maxima et de minima; supposons, pour fixer les idées,
qu^elle aille en décroissant quand [x variera de ^ — e à x. Si nous
posons
rintégrale que nous discutons ici devient
ou bien, d'après le second théorème de la moyenne,
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