Un exemple très intéressant est obtenu en faisant

Les racines de l'équation sont données par

(k entier positif où négatif).

La succession des rayons ri, /'a, . . . , r„, . . . sera obtenue en faisant

{7.n-hl)TZ . ^ ,

de telle sorte que les circonférences successives ne passeront pas par les pôles.

Nous devons d'abord constater que ^^~"", a une limite, qui, si

176 CHAPITRE YI.

elle existe, doit être égale à Tunité. Or

Par suite, en général,

lim-ï- , =H- I.

Si w est sur Taxe des quantités^ imaginaires, le quotient ^ >

qui est infini pour les pôles z= — - > reste, au contraire, fini et

ëgal à ^, quand on donne à z les valeurs ^

Il faut ensuite montrer que X:L;gc(j— x,) ^ zéro pour limite. Or cette expression se réduit à

Si donc X <iXQ-\- a, ce quotient tend en général vers zéro; îl reste fini pour la direction singulière de Taxe des quantités complexes, le point z restant, bien entendu, sur les circonférences de rayon r„.

Il faut encore vérifier les conditions relatives à la fonction '/(z). Celle-ci est définie par Tégalité

et, par suite,

Nous aurons

Sa limite sera donc un en général. De plus

Xinii e-^^t-^^ =

ffZ'x,-x—a)

el sa limite sera en général zéro si

Xi — X — a < o ;

et, pour la direction de l'axe des quantités complexes. Tune et Tautre expressions précédentes resteront finies.

iV,

Nous arrivons ainsi à la formule (y) qui devient ici

^ous la condition que

Xi — a <C X <C ^0 "+■ ^'

f^renons, en particulier,

Xq =0, X\=i a.

^^ S aurons, pour x compris entre o et a,

'éunissant les termes correspondant à des valeurs de A' égales s signes contraires, on obtient le développement

t'à'dire le développement en série de F ourler,

ans le cas où, pour la valeur considérée de a:, la fonction /(x) it discontinue, il suffit de se reporter zwtl deux développements ^ nous avons tiré la formule précédente pour voir que f{^x) ra être remplacé par

^^^marquons encore que la série de Fourier est démontrée, par la ^^éthode précédente, pour toute valeur de x comprise entre o ^^ a, mais à V exclusion de ces valeurs. On peut trouver facilement la valeur de la série pour x = o et x = a. Considérons la ^érie (i6) comme définissant une fonction de a:; ce sera donc, si Ton veut, notre fonction primitive /(^), prolongée en dehors de l'intervalle (o, a) d'une manière périodique. Appelons f{x) la fonction représentée par la série : c'est une fonction ayant a pour P. — IL la

période. Pour x = 0 et x = a^ elle n'a pour nous aucun : mais, d'après la définition même de ç, on a

?(-tq) =/(«)» ?(^-tq)=/(o).

Ceci posé, développons o{x) en série de Fourier, dans Fi valle ( — - > "^ " ) ' ^^ ^^^^

Mais la fonction ç, dans Tinlervalle de à o, est égale à la I

tion / dans l'intervalle de - à a; il en résulte que le dévelo

ment (17) est identique, terme à terme, au développement ( Donc la série (16), pour x = o, aura la même valeur qi série (17); or la valeur de cette dernière série est égale à

?(— yi)-+-?(-^TQ) ^„ /(g) -4-/(0) .

la valeur de la série (16) pour ^ = o et pour x = a est < donnée par la demi-somme précédente.