Prenons, comme second exemple
Nous allons choisir, comme succession des rayons /'i, r^,
On aura
^{— g) —e^-j-i-z-hh)
par suite, en général,
uni -i-T = I.
TZi—Z)
D'autre part
qui tend vers zéro, si 2:<;^o+ 2a.
On vérifiera de même que les conditions requises sont remplies pour la fonction y^{z). On a
Tzi—z) e-'^-{—z-i-h)'-(z-i-h)e'^-'
la limite sera zéro si
Xi — or — 2a<o ou x^xt — 2a.
Ceci posé, nous avons à étudier Téquation tz(z)^= o. 11 est d'abord manifeste que cette équation ne peut avoir des racines réelles, sauf ^ = o, car
-5 ( tf <*--+- e""*) et e*- — e~^-
sont de mêmes signes quand z est réel, et d'autre part h est positif.
Je dis que toutes les racines de Téquation sont de la forme z^'kiy / étant réel.
Pour le voir posons dans cette équation, az = x-\- iy. En séparant les parties réelles et les parties imaginaires on obtient les deux équations
\ tang^/ ;
Pour or^z^ o, les rapports kx ^^ ^> kx —^ —^ sont positifs :
par suite A"^ tan g^ et- — =^ seraient de signes contraires, ce qui
est impossible. Il faut donc faire x = o^ la première équation est alors satisfaite quel que soit j^, et la seconde se réduit à Téquation
ky -+- tangj' = o.
II est d'ailleurs très aisé de montrer que cette équation a une infinité de racines réelles. Il suffit pour cela de construire les deux
l80 CHAPITRE YI.
courbes
et l'on voit de suite qu*ellcs ont une infinité de points de rencontre. En définitive, Téquation ir(^) = o a une infinité de racines de la forme :; = \i^ X étant réel; en faisant cette substitution, Téquation devient
(18) X cos(aX)-+- Asin(aX) = o.
On a
-^.. ,. ,. * ^ . *, sinsaX — -laX t: (Ai)= 2[( I H- an)co%ah — Aa sinaAl= ; r »
d'où, par suite, le développement
la sommation étant étendue aux racines de Téquation (18).
En groupant les valeurs de X égales et de signe contraire, il vient
f(x)= ,, / /(\L)dii
^ 2(1 -^cih)J^. -^ ^^ ^
la sommation s^étendant seulement aux valeurs positives de X. Si, en particulier, on prend Xo = — a y j:i = -f-a, on aura le développement d'une fonction /(x) définie entre — a et H- a.
15. U ne sera pas sans intérêt d^indiquer dans quel problème Fourier a rencontré pour la première fois le développement précédent, mais sans traiter rigoureusement de sa convergence, comme permet de le faire la méthode de Cauchy. Partons de ce résultat fondamental, dû à l'illustre auteur, que, dans un corps isotrope, l'équation à laquelle satisfait la température V d'un point est
k étant une constante. Supposons que l'on ait un solide terminé par une surface S; on donne l'état calorifique initiai du solide
APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CAUCUY. l8l
pour r=:o, c'est-à-dire la valeur de la fonction V(a:, y, -s, t) pour r = o. De plus, nous avons une condition à la surface, en écrivant que la loi de la déperdition à la surface est la loi de Newton ; si Ton suppose que le milieu ambiant soit à la température zéro, cette condition, qui doit être vérifiée pour toute valeur de /, peut s'écrire
^-.AV = o (A>o),
-j- désignant la dérivée de V dans le sens de la normale extérieure
à la surface S (*). Prenons maintenant le cas particulier d'une sphère de rayon R, ayant son centre à l'origine, et supposons que la température soit fonction seulement de t et de /*
L^équation (19) se réduit alors à
et la condition à la surface devient
(^1) hAV — o (pourr=H),
Or
et cela quel que soit /. Nous avons, d'autre part, pour / = o, la donnée
relative à l'état initial; V{r) est une fonction arbitrairement donnée de r = o à r = R.
L'équation (9.0) se simpliiic immédiatement, si l'on pose
on a alors, pour j^, l'équation
(») Voir FouRiER, Tliéorie analytique de la chaleur {Œuvres de Fourier, publiées par les soins de M. G. Darbou\).
l82 CHAPITRE VI.
Fourier commence par chercher ce qu'il appelle une solution simple de celte équation. En posant
// étant une fonction de /*, l'équation devient
mu = /•
dr^
En posant alors m = — kn^, n étant une constante arbitraire, on obtient la solution
y = e-*"''( A cos/ir-h B sin/ir) et, par suite,
V= ( A cosnr-r- Bsin/ir).
Comme nous voulons avoir une solution restant finie à Tintérieur de la sphère, nous devons prendre seulement la solution
, . ,, sin /ir
La constante n jusqu'ici est arbitraire, mais si nous voulons que cette solution particulière satisfasse à l'équation à la surface, nous aurons
nr cosnr-^(/ir — ijsin/ir=:o, pour r = R, ou
(a3) langnR -H t-t; = o.
Nous allons supposer, pour ne pas avoir à sortir du cas examiné plus haut, que hR — i est positif; /?R satisfait à une équation transcendante de la nature de celle que nous avons étudiée. Soient /2i, /i2, ... les valeurs de n en nombre infini satisfaisant à cette condition, la série
- , 1 , sin /Il r . , . sin/tf r r
si elle est convergente, satisfera à Téquation (20) et à la condition limite (21). On voit quel problème fort intéressant se pose alors : peut-on déterminer les coejficients A, de façon que la série
APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE GAUCHY. l83
converge et représente F(r) pour tz=o, c'est-à-dire soit telle que (aî) rF(r)= Aisin/iir-t- Aisinnjr-t-
Il s'agit doQC du développement d'une fonction définie entre o et R en une série procédant suivant des sinus dont les arguments sont de la forme nx^ les n étant racines d'une équation transcendante. Or, si nous considérons une fonction o{r) définie de — R à + R, égale à rF(r) de o à R et prenant de o à — R des valeurs égales et de signes contraires, on peut développer 'f (/'), en série de la forme (paragraphe précédent)
la sommation étant étendue aux racines positives de l'équation
tangRA -+" ïï = o,
I R équation qui coïncidera avec (2.3) si l'on pose yr = . p •
D'ailleurs, d'après la définition même de o{r), le développement de cette fonction ne renfermera que des termes en sinus, les termes en cosinus ajant des coefficients nuls. Nous obtiendrons donc ainsi le développement (24) dont nous avons besoin, et la solution du problème est donnée par la formule
,. - . sin/iir , 1, . sin/ijr . 1,
V(r, 0 = Al — e-^«î'-t-Aj — e-^^î'-h. . .,
les n étant les racines positives de l'équation (23).
III. — Nombre des racines d'une équation contenues dans un contour. Théorie des indices.
16. Nous ferons encore une application du théorème des résidus en recherchant le nombre des racines d'une équation
j84 chapitre Vl.
contenues dans un contour C, à Tintéricur duquel f{z) est UDe fonction holomorphe.
Considérons, en effet, l'intégrale
Les pôles de la fonction
sont les racines de la fonction /'(^). Or, si a désigne une racine d^ordre m, on aura
donc
le résidu correspondant est donc égal à m. Par suite, en désignant par N le nombre des racines de Téquation contenues dans C, comptées avec leur degré de multiplicité, il vient
17. On peut donner une autre forme au résultat précédent; l'intégrale précédente est égale à la variation de
log/(5),
quand z décrit le contour. Or
Iog/('8)= Log[mod/(5)]-t- t arg/(«),
el Log[mod/(^)], qui est un logarithme arithmétique, reprend la même valeur quand z revient au point de départ. La variation de log/(;î) est donc égale à la variation de son argument multiplié par i. La variation de arg/(w) sera de la forme
n étant un entier, et Ton aura
APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE GAUCHY. l85
18. Prenons, comme application, le cas d'un polynôme/(-s) de degré m. Il résulte de ce que nous avons vu (Chap. V, § 15) que, à l'extérieur d'un cercle d'un rayon suffisamment grand, on a le développement
/11) At ^ A, f{z) - z ^ z^-^"-
celte série étant ordonnée suivant les puissances croissantes de -•
Il est clair d'ailleurs que A| = m, comme on le voit en multipliant par:; les deux membres de cette identité et faisant 5 = oc. Le calcul de l'intégrale
le long d'un cercle C de très grand rayon, est maintenant immédiat; on aura
rf{z) , rdz
I *i~-~ az = m / — =2 mort, Je J^^) Je ^
puisque
On en conclut donc
c'est-à-dire qu' un polynôme de degré m a m racines,
19. Considérons particulièrement, avec Cauchy, le cas où le contour C, à l'intérieur duquel on veut calculer le nombre des racines de l'équation
f{z) étant un polynôme, serait formé de segments de courbes unicursales. On peut alors, par un calcul régulier, trouver le nombre des racines, et Cauchy a donné à ce sujet des développements extrêmement intéressants. Soit un segment F de courbe unicursale obtenu en faisant varier le paramètre ^, dont dépendent rationnellement a: et^, depuis r= a jusqu'à r = 6 (a<; 6); on a, pour cet arc,
l86 CHAPITRE VI.
en posant
P et Q étant deux polynômes en t faciles à former.
U intégrale qui figure dans le second membre doit être calculée^ c'est elle qui nous intéresse.
L'intégrale indéfinie est
arc tangF(/).
On peut partir d'une détermination quelconque de cet arc tang pour ^ = a, et il faut suivre d^une manière continue {voir t. I, p. 9) la détermination choisie depuis la valeur initiale i = a jusqu'à la valeur finale t = b.
On remarquera d'abord que l'intégrale
' F'(()dt r, I4-FH0
a un sens déterminé même quand F(/) devient infinie. SupposoDS en effet P et Q premiers entre eux; l'intégrale pouvant s'écrire
