l\^xP àyl J x^y

11 est très intéressant d'avoir une limite supérieure du module de ce coefficient. Cette limite peut être obtenue en fonction du module maximum M de la fonction /(x, y^ à Pintérieur des cercles C et C.

Considérons d'abord la fonctiony(j', j^) comme fonction de la seule variable x^ nous aurons, d'après une formule établie antérieurement (Ch. V, § 4),

Prenons maintenant la dérivée y»*^"* des deux membres par rapport à^ et faisons ^^=^^0' Nous devons différentier ^ fois sous le signe d'intégration par rapport à j^; or, en appliquant la même formule, on a

11 vient donc finalement

KOxPày'/Jjr^x. iTzrP,iT.r^ Jo Jo

De cette formule se tire de suite la limite cherchée : en remplaçant par M le coefficient de rfO <i6' sous le signe d'intégration, on

a une limite du module et, par conséquent,

àxPdy^

S. Si les cercles G et C ont pour centres l'origine, on a, en faisant Xq=zjo = o et h=^x^ /c=y^ le développement de Maclaurin

"=-V du -^ OvJu=<,

Le coefficient Ap^q de xPy^ est, d'après ce que nous avons dit plus haut,

On aura donc V inégalité très importante

De là nous concluons une propriété essentielle du développement (i); la série, formée avec les modules des termes de la série

est convergente, quand ^ et y sont respectivement à l'intérieur des cercles G et G'. On le voit de suite, puisque, en remplaçant I Ap^çl par sa limite supérieure, on a

el cette série est convergente quand - •< i ,

La fonction représentée par la série (2) s'obtient d'ailleurs immédiatement sous forme finie; ce n'est autre chose que

G(iF, y) = -; r— r r- ,

>4o CHAPITRE IX.

comme le montrent les développements de et et Tap-

plication de la règle de multiplication des séries.

Nous ferons plus tard grand usage de la fonction G(x,j'). Diaprés la manière même dont elle a été obtenue, on peut dire que ses dérivées partielles, toutes positives pour j:= o, ^ = o, sont, pour ces valeurs des variables, supérieures aux modules de la dérivée correspondante à^f{x^y) : on a les inégalités

/ dP-^*iG \ y dP^9f I \àxPày9ljr:^^-^ dxPàyk |x=o*

On peut trouver bien d'autres fonctions jouissant de la même propriété que G{x, y). Citons la suivante dont nous aurons aussi à faire usage

Le coefficient de .rP y*i, dans le développement de cette fonction, étant