CM

On voit que ces six équations se réduisent à quatre. La /onction P(j:, j', :;, t) satisfait donc aux quatre équations

()»p Tx^

Ox Oz Ot dy

O^V Oxâi

Oz^

Ozây

d^P Ot^

Réciproquement, d'ailleurs, si Ton a une fonction P satisfaisant à ces quatre équations, on pourra trouver une fonction Q(j?,^% c, /)

FONCTIONS DE VAniABLES INDÉPENDANTES. 287

vérifiant les équations (E), puisque les conditions trouvées expriment précisément les conditions nécessaires et suffisantes pour que Ton puisse obtenir une telle fonction Q(^, y^ 5, t).

On voit de suite la différence profonde qui doit séparer la théorie des fonctions de deux variables de celle d'une variable. Dans celle-ci, la partie réelle P doit satisfaire à Punique équation de Laplace; dans celle-là, au contraire, nous trouvons quatre équations pour cette seule partie réelle P. 11 ne semble guère possible d'étudier ce sjslème de quatre équations comme on a étudié l'équation de Laplace; aussi devrons-nous ici considérer la fonction P -f- 1 Q dans son ensemble sans étudier séparément P et Q.

3. La série de Taylor s'étend immédiatement aux cas de deux variables. Soit une fonction analytique y(j',j^') des deux variables complexes ;r et j^; cette fonction est supposée uniforme et continue quand le point j? est à Tintérieur d'un cercle C ayant x^ pour centre et r pour rayon, et le point j^ dans un cercle C de centre j^o et de rayon t^ ,

Nous n'avons qu'à répéter la démonstration faite pour le cas des variables réelles. Supposons que les points Xq-^ Il et Vo-i- k soient à l'intérieur des deux cercles que nous venons de définir; on pose

X =^ Xq-\- htj y = yQ-\- kt,

/{x^y) peut être regardée comme une fonction de la variable complexe f, uniforme et continue à l'intérieur du cercle ayant l'origine pour centre et l'unité pour rayon, puisque, quand t reste clans cette région, le point (x, y) reste à l'intérieur des cercles Cj et C. On doit même remarquer que la fonction de ^, que représente y(jr, j'), sera uniforme et contenue dans un cercle de rayon supérieur à i ; nous pourrons donc faire, sans incertitude, / = i, dans le développement que nous allons obtenir. Ce développement n'est autre chose que le développement de Taylor, pour la fonction

de /

/(xo4-///, j'oH- kt) :

on a donc

a38 CHAPITRE IX.

où, comme on sait, Texpression ( '* ^ + ^^ ) est symbolique,

les puissances devant être remplacées par les dérivées. On a alors pour / =: I

entièrement analogue, comme forme, à ce qui a été vu dans la théorie élémentaire des fonctions de deux variables réelles.

t. Dans le développement précédent, le coefficient de hPk^esi